Номер 55, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 55, страница 18.

Условие.

принимает отрицательное значение.

55. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

2) $y = \frac{x - 3}{3 - x}$;

3) $y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 - 4x}{x}$;

4) $y = \frac{2}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Теперь упростим выражение для функции. Числитель представляет собой разность квадратов $x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$:

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$

Так как $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = x - 2$

Графиком функции $y = x - 2$ является прямая линия. Однако, из-за ограничения ОДЗ, точка с абсциссой $x = -2$ должна быть исключена (выколота) из графика.

Найдем ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное уравнение:

$y = -2 - 2 = -4$

Таким образом, точка с координатами $(-2, -4)$ является выколотой.

Для построения графика найдем две любые точки, принадлежащие прямой $y = x-2$:

- при $x = 0$, $y = -2$; точка $(0, -2)$.

- при $x = 2$, $y = 0$; точка $(2, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки и отмечаем на ней выколотую точку $(-2, -4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

2) $y = \frac{x - 3}{3 - x}$

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Упростим функцию. Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки:

$y = \frac{x - 3}{-(x - 3)}$

При $x \neq 3$ можем сократить дробь на $(x-3)$:

$y = -1$

Графиком функции $y = -1$ является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -1)$.

Учитывая ОДЗ, точка с абсциссой $x = 3$ должна быть выколота.

Координаты выколотой точки: $(3, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -1$ с выколотой точкой $(3, -1)$.

3) $y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 - 4x}{x}$

Найдем ОДЗ. Оба знаменателя не должны равняться нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x \neq 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первая дробь: числитель является полным квадратом $(x-5)^2$.

$\frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} = \frac{(x - 5)^2}{x - 5} = x - 5$ (при $x \neq 5$)

Вторая дробь: вынесем $2x$ за скобки в числителе.

$\frac{2x^2 - 4x}{x} = \frac{2x(x - 2)}{x} = 2(x - 2) = 2x - 4$ (при $x \neq 0$)

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (x - 5) - (2x - 4) = x - 5 - 2x + 4 = -x - 1$

Графиком функции $y = -x - 1$ является прямая линия.

Из-за ОДЗ на графике будут две выколотые точки: при $x = 0$ и $x = 5$.

Найдем их координаты:

- При $x = 0$, $y = -0 - 1 = -1$. Выколотая точка $(0, -1)$.

- При $x = 5$, $y = -5 - 1 = -6$. Выколотая точка $(5, -6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 1$ с выколотыми точками $(0, -1)$ и $(5, -6)$.

4) $y = \frac{2}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}$

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Упростим выражение. Так как мы вычитаем одинаковые дроби, результат равен нулю:

$y = 0$

Графиком функции $y = 0$ является ось абсцисс (ось Ox).

Учитывая ОДЗ, точка с абсциссой $x = -4$ должна быть выколота.

Координаты выколотой точки: $(-4, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 0$ (ось Ox) с выколотой точкой $(-4, 0)$.