Номер 48, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 48, страница 17.

Условие.

48. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{2p}{5p - 15}$ и $\frac{1}{p^3 - 27}$;

2) $\frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1}$ и $\frac{a - 2}{9a^2 - 1}$;

3) $\frac{a}{a^2 - 7a}$ и $\frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49}$;

4) $\frac{2x}{x^2 - 1}$, $\frac{3x}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{4}{x^2 + 2x + 1}$;

5) $\frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc}$, $\frac{b}{2a - 2b}$ и $\frac{ab}{4a - 4c}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{2p}{5p - 15} $ и $ \frac{1}{p^3 - 27} $.

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби.

Знаменатель первой дроби: $ 5p - 15 = 5(p - 3) $.

Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:
$ p^3 - 27 = p^3 - 3^3 = (p - 3)(p^2 + p \cdot 3 + 3^2) = (p - 3)(p^2 + 3p + 9) $.

Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он должен содержать все множители из разложений обоих знаменателей в наибольшей встречающейся степени.
НОЗ = $ 5(p - 3)(p^2 + 3p + 9) $. Его можно также записать как $ 5(p^3 - 27) $.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)}{5(p - 3)} = p^2 + 3p + 9 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)}{(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = 5 $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{2p}{5p - 15} = \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{2p^3 + 6p^2 + 18p}{5(p^3 - 27)} $

$ \frac{1}{p^3 - 27} = \frac{1 \cdot 5}{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{5}{5(p^3 - 27)} $

Ответ: $ \frac{2p^3 + 6p^2 + 18p}{5(p^3 - 27)} $ и $ \frac{5}{5(p^3 - 27)} $.

2) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1} $ и $ \frac{a - 2}{9a^2 - 1} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби является полным квадратом разности $ (x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 $:
$ 9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2 $.

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:
$ 9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1) $.

Наименьший общий знаменатель: НОЗ = $ (3a - 1)^2(3a + 1) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{(3a - 1)^2(3a + 1)}{(3a - 1)^2} = 3a + 1 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{(3a - 1)^2(3a + 1)}{(3a - 1)(3a + 1)} = 3a - 1 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1} = \frac{(3a + 1)(3a + 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} = \frac{(3a + 1)^2}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $

$ \frac{a - 2}{9a^2 - 1} = \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)(3a + 1)(3a - 1)} = \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $

Ответ: $ \frac{(3a + 1)^2}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $ и $ \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $.

3) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{a}{a^2 - 7a} $ и $ \frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби: $ a^2 - 7a = a(a - 7) $.

Знаменатель второй дроби является полным квадратом разности:
$ a^2 - 14a + 49 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = (a - 7)^2 $.

Наименьший общий знаменатель: НОЗ = $ a(a - 7)^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{a(a - 7)^2}{a(a - 7)} = a - 7 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a(a - 7)^2}{(a - 7)^2} = a $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a}{a^2 - 7a} = \frac{a(a - 7)}{a(a - 7)(a - 7)} = \frac{a(a - 7)}{a(a - 7)^2} = \frac{a^2 - 7a}{a(a - 7)^2} $

$ \frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49} = \frac{(a + 3)a}{(a - 7)^2 \cdot a} = \frac{a^2 + 3a}{a(a - 7)^2} $

Ответ: $ \frac{a^2 - 7a}{a(a - 7)^2} $ и $ \frac{a^2 + 3a}{a(a - 7)^2} $.

4) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{2x}{x^2 - 1} $, $ \frac{3x}{x^2 - 2x + 1} $ и $ \frac{4}{x^2 + 2x + 1} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

Знаменатель второй дроби (квадрат разности): $ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $.

Знаменатель третьей дроби (квадрат суммы): $ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $.

Наименьший общий знаменатель должен содержать множители $ (x-1) $ и $ (x+1) $ в их наивысших степенях. НОЗ = $ (x - 1)^2(x + 1)^2 $. Его можно записать как $ ((x-1)(x+1))^2 = (x^2-1)^2 $.

Находим дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{(x - 1)^2(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $.

Для второй дроби: $ \frac{(x - 1)^2(x + 1)^2}{(x - 1)^2} = (x + 1)^2 $.

Для третьей дроби: $ \frac{(x - 1)^2(x + 1)^2}{(x + 1)^2} = (x - 1)^2 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{2x(x^2 - 1)}{(x - 1)^2(x + 1)^2} $

$ \frac{3x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{3x(x + 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)^2} $

$ \frac{4}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)^2} $

Ответ: $ \frac{2x(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} $, $ \frac{3x(x + 1)^2}{(x^2 - 1)^2} $ и $ \frac{4(x - 1)^2}{(x^2 - 1)^2} $.

5) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc} $, $ \frac{b}{2a - 2b} $ и $ \frac{ab}{4a - 4c} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби (методом группировки):
$ a^2 - ab - ac + bc = (a^2 - ab) - (ac - bc) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c) $.

Знаменатель второй дроби: $ 2a - 2b = 2(a - b) $.

Знаменатель третьей дроби: $ 4a - 4c = 4(a - c) $.

Наименьший общий знаменатель должен содержать числовой коэффициент, равный НОК(2, 4), то есть 4, и все буквенные множители. НОЗ = $ 4(a - b)(a - c) $.

Находим дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{4(a - b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} = 4 $.

Для второй дроби: $ \frac{4(a - b)(a - c)}{2(a - b)} = 2(a - c) $.

Для третьей дроби: $ \frac{4(a - b)(a - c)}{4(a - c)} = a - b $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a^2}{(a - b)(a - c)} = \frac{a^2 \cdot 4}{4(a - b)(a - c)} = \frac{4a^2}{4(a - b)(a - c)} $

$ \frac{b}{2(a - b)} = \frac{b \cdot 2(a - c)}{2(a - b) \cdot 2(a - c)} = \frac{2b(a - c)}{4(a - b)(a - c)} $

$ \frac{ab}{4(a - c)} = \frac{ab(a - b)}{4(a - c)(a - b)} = \frac{ab(a - b)}{4(a - b)(a - c)} $

Ответ: $ \frac{4a^2}{4(a - b)(a - c)} $, $ \frac{2b(a - c)}{4(a - b)(a - c)} $ и $ \frac{ab(a - b)}{4(a - b)(a - c)} $.