Номер 43, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 43, страница 16.

Условие.

43. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$;

2) $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$;

3) $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$;

4) $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$;

5) $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$;

6) $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$;

7) $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$;

8) $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Даны дроби $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$.
Знаменатели дробей: $15x^2y^2$ и $10x^3y$.
Чтобы найти общий знаменатель, найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов и возьмем переменные в наивысшей степени.
НОК(15, 10) = 30.
Наивысшая степень для $x$ — это $x^3$.
Наивысшая степень для $y$ — это $y^2$.
Следовательно, общий знаменатель: $30x^3y^2$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $\frac{30x^3y^2}{15x^2y^2} = 2x$.
$\frac{4}{15x^2y^2} = \frac{4 \cdot 2x}{15x^2y^2 \cdot 2x} = \frac{8x}{30x^3y^2}$.
Для второй дроби: $\frac{30x^3y^2}{10x^3y} = 3y$.
$\frac{1}{10x^3y} = \frac{1 \cdot 3y}{10x^3y \cdot 3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}$.
Ответ: $\frac{8x}{30x^3y^2}$ и $\frac{3y}{30x^3y^2}$.

2) Даны дроби $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$.
Знаменатели дробей: $6a^4b^5$ и $9ab^2$.
НОК(6, 9) = 18.
Наивысшая степень для $a$ — это $a^4$.
Наивысшая степень для $b$ — это $b^5$.
Общий знаменатель: $18a^4b^5$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{18a^4b^5}{6a^4b^5} = 3$.
$\frac{c}{6a^4b^5} = \frac{c \cdot 3}{6a^4b^5 \cdot 3} = \frac{3c}{18a^4b^5}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{18a^4b^5}{9ab^2} = 2a^{4-1}b^{5-2} = 2a^3b^3$.
$\frac{d}{9ab^2} = \frac{d \cdot 2a^3b^3}{9ab^2 \cdot 2a^3b^3} = \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$.
Ответ: $\frac{3c}{18a^4b^5}$ и $\frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$.

3) Даны дроби $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$.
Разложим знаменатели на множители. Второй знаменатель — это разность квадратов: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$.
Знаменатели: $y-5$ и $(y-5)(y+5)$.
Общий знаменатель: $(y-5)(y+5) = y^2-25$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(y-5)(y+5)}{y-5} = y+5$.
$\frac{x}{y-5} = \frac{x(y+5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{xy+5x}{y^2-25}$.
Вторая дробь уже приведена к общему знаменателю, ее дополнительный множитель равен 1.
Ответ: $\frac{xy+5x}{y^2-25}$ и $\frac{z}{y^2-25}$.

4) Даны дроби $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$.
Разложим знаменатели на множители:
$m^2-mn = m(m-n)$.
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Общий знаменатель: $m(m-n)(m+n)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{m(m-n)(m+n)}{m(m-n)} = m+n$.
$\frac{m+n}{m(m-n)} = \frac{(m+n)(m+n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{m(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m(m^2-n^2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{m(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = m$.
$\frac{2m-3n}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(2m-3n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{2m^2-3mn}{m(m^2-n^2)}$.
Ответ: $\frac{m^2+2mn+n^2}{m(m-n)(m+n)}$ и $\frac{2m^2-3mn}{m(m-n)(m+n)}$.

5) Даны дроби $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$.
Разложим знаменатели на множители, вынося общий множитель за скобки:
$x^2-xy = x(x-y)$.
$xy-y^2 = y(x-y)$.
Общий знаменатель: $xy(x-y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xy(x-y)}{x(x-y)} = y$.
$\frac{x+1}{x(x-y)} = \frac{y(x+1)}{xy(x-y)} = \frac{xy+y}{xy(x-y)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy(x-y)}{y(x-y)} = x$.
$\frac{y-1}{y(x-y)} = \frac{x(y-1)}{xy(x-y)} = \frac{xy-x}{xy(x-y)}$.
Ответ: $\frac{xy+y}{xy(x-y)}$ и $\frac{xy-x}{xy(x-y)}$.

6) Даны дроби $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$.
Знаменатели $a-2b$ и $a+b$ являются простыми многочленами и не имеют общих множителей.
Общий знаменатель равен их произведению: $(a-2b)(a+b)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $a+b$.
$\frac{6a}{a-2b} = \frac{6a(a+b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{6a^2+6ab}{a^2+ab-2ab-2b^2} = \frac{6a^2+6ab}{a^2-ab-2b^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $a-2b$.
$\frac{3a}{a+b} = \frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{3a^2-6ab}{a^2-ab-2b^2}$.
Ответ: $\frac{6a^2+6ab}{(a-2b)(a+b)}$ и $\frac{3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)}$.

7) Даны дроби $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$.
Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — разность квадратов: $c^2-16 = (c-4)(c+4)$.
Второй знаменатель: $4-c = -(c-4)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус в числитель: $\frac{c}{4-c} = \frac{c}{-(c-4)} = \frac{-c}{c-4}$.
Теперь знаменатели: $(c-4)(c+4)$ и $c-4$.
Общий знаменатель: $(c-4)(c+4) = c^2-16$.
Первая дробь уже приведена к общему знаменателю.
Дополнительный множитель для второй дроби: $c+4$.
$\frac{-c}{c-4} = \frac{-c(c+4)}{(c-4)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{c^2-16}$.
Ответ: $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{-c^2-4c}{c^2-16}$.

8) Даны дроби $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$.
Знаменатель первой дроби $m^2+5m+25$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители с действительными корнями. Он является частью формулы разности кубов: $m^3-5^3 = (m-5)(m^2+5m+25)$.
Знаменатели: $m^2+5m+25$ и $m-5$.
Общий знаменатель: $(m-5)(m^2+5m+25) = m^3-125$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $m-5$.
$\frac{2m+9}{m^2+5m+25} = \frac{(2m+9)(m-5)}{(m-5)(m^2+5m+25)} = \frac{2m^2-10m+9m-45}{m^3-125} = \frac{2m^2-m-45}{m^3-125}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $m^2+5m+25$.
$\frac{m}{m-5} = \frac{m(m^2+5m+25)}{(m-5)(m^2+5m+25)} = \frac{m^3+5m^2+25m}{m^3-125}$.
Ответ: $\frac{2m^2-m-45}{m^3-125}$ и $\frac{m^3+5m^2+25m}{m^3-125}$.