Номер 39, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 39, страница 16.

Условие.

39. Приведите дробь:

1) $\frac{a}{a + 2}$ к знаменателю $4a + 8$;

2) $\frac{m}{m - 3n}$ к знаменателю $m^2 - 9n^2$;

3) $\frac{x}{2x - y}$ к знаменателю $7y - 14x$;

4) $\frac{5b}{2a + 3b}$ к знаменателю $4a^2 + 12ab + 9b^2$;

5) $\frac{x + 1}{x^2 + x + 1}$ к знаменателю $x^3 - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы привести дробь $ \frac{a}{a+2} $ к знаменателю $ 4a+8 $, найдем дополнительный множитель. Для этого разложим новый знаменатель на множители: $ 4a+8 = 4(a+2) $. Дополнительный множитель равен частному от деления нового знаменателя на исходный: $ \frac{4(a+2)}{a+2} = 4 $. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 4:
$ \frac{a \cdot 4}{(a+2) \cdot 4} = \frac{4a}{4a+8} $.

Ответ: $ \frac{4a}{4a+8} $

2) Чтобы привести дробь $ \frac{m}{m-3n} $ к знаменателю $ m^2-9n^2 $, разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $ m^2-9n^2 = (m-3n)(m+3n) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{(m-3n)(m+3n)}{m-3n} = m+3n $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (m+3n) $:
$ \frac{m \cdot (m+3n)}{(m-3n) \cdot (m+3n)} = \frac{m^2+3mn}{m^2-9n^2} $.

Ответ: $ \frac{m^2+3mn}{m^2-9n^2} $

3) Чтобы привести дробь $ \frac{x}{2x-y} $ к знаменателю $ 7y-14x $, разложим новый знаменатель на множители: $ 7y-14x = 7(y-2x) $. Заметим, что $ y-2x = -(2x-y) $, поэтому $ 7(y-2x) = -7(2x-y) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{-7(2x-y)}{2x-y} = -7 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на -7:
$ \frac{x \cdot (-7)}{(2x-y) \cdot (-7)} = \frac{-7x}{-14x+7y} = \frac{-7x}{7y-14x} $.

Ответ: $ \frac{-7x}{7y-14x} $

4) Чтобы привести дробь $ \frac{5b}{2a+3b} $ к знаменателю $ 4a^2+12ab+9b^2 $, разложим новый знаменатель по формуле квадрата суммы: $ 4a^2+12ab+9b^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2 = (2a+3b)^2 $. Дополнительный множитель равен $ \frac{(2a+3b)^2}{2a+3b} = 2a+3b $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (2a+3b) $:
$ \frac{5b \cdot (2a+3b)}{(2a+3b) \cdot (2a+3b)} = \frac{10ab+15b^2}{(2a+3b)^2} = \frac{10ab+15b^2}{4a^2+12ab+9b^2} $.

Ответ: $ \frac{10ab+15b^2}{4a^2+12ab+9b^2} $

5) Чтобы привести дробь $ \frac{x+1}{x^2+x+1} $ к знаменателю $ x^3-1 $, разложим новый знаменатель по формуле разности кубов: $ x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = x-1 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (x-1) $. В числителе получим разность квадратов:
$ \frac{(x+1) \cdot (x-1)}{(x^2+x+1) \cdot (x-1)} = \frac{x^2-1^2}{x^3-1} = \frac{x^2-1}{x^3-1} $.

Ответ: $ \frac{x^2-1}{x^3-1} $