Номер 45, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 45, страница 17.

Условие.

45. Сократите дробь:

1) $\frac{2m^2 - 72n^2}{(4m + 24n)^2}$;

2) $\frac{a^3 - 8}{ab - a - 2b + 2}$;

3) $\frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 - ab^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2m^2 - 72n^2}{(4m + 24n)^2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$2m^2 - 72n^2 = 2(m^2 - 36n^2) = 2(m^2 - (6n)^2) = 2(m - 6n)(m + 6n)$.

Теперь преобразуем знаменатель. В выражении под знаком квадрата вынесем общий множитель 4 за скобки:
$(4m + 24n)^2 = (4(m + 6n))^2 = 4^2(m + 6n)^2 = 16(m + 6n)^2$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь и произведем сокращение на общие множители $2$ и $(m+6n)$:
$\frac{2(m - 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} = \frac{m - 6n}{8(m + 6n)}$.

Ответ: $\frac{m-6n}{8(m+6n)}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - 8}{ab - a - 2b + 2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

Числитель является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Знаменатель разложим на множители методом группировки слагаемых:
$ab - a - 2b + 2 = (ab - a) + (-2b + 2) = a(b-1) - 2(b-1) = (a - 2)(b - 1)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(b - 1)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{b - 1}$.

Ответ: $\frac{a^2 + 2a + 4}{b - 1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 - ab^2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки, после чего применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ :
$a^3 + 2a^2b + ab^2 = a(a^2 + 2ab + b^2) = a(a+b)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2) = a(a-b)(a+b)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общие множители $a$ и $(a+b)$:
$\frac{a(a+b)^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.