Номер 51, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 51, страница 17.

Условие.

51. Найдите значение выражения $\frac{4a^2 - ab}{ab + 14b^2}$, если $\frac{a}{b} = 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значение данного выражения, можно использовать два способа.

Способ 1: Преобразование выражения

Заметим, что данное выражение является однородным, то есть степень каждого слагаемого в числителе и знаменателе одинакова (равна 2). Это позволяет нам преобразовать выражение так, чтобы оно зависело только от отношения $\frac{a}{b}$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $b^2$. Это действие возможно, поскольку из условия $\frac{a}{b} = 5$ следует, что $b \neq 0$.

$\frac{4a^2 - ab}{ab + 14b^2} = \frac{\frac{4a^2 - ab}{b^2}}{\frac{ab + 14b^2}{b^2}} = \frac{\frac{4a^2}{b^2} - \frac{ab}{b^2}}{\frac{ab}{b^2} + \frac{14b^2}{b^2}}$

Упростим полученные дроби, сокращая $b$ и $b^2$:

$\frac{4(\frac{a}{b})^2 - \frac{a}{b}}{\frac{a}{b} + 14}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\frac{a}{b} = 5$:

$\frac{4(5)^2 - 5}{5 + 14} = \frac{4 \cdot 25 - 5}{19} = \frac{100 - 5}{19} = \frac{95}{19} = 5$

Способ 2: Подстановка

Из условия $\frac{a}{b} = 5$ выразим переменную $a$ через $b$:

$a = 5b$

Подставим это выражение для $a$ в исходную дробь:

$\frac{4(5b)^2 - (5b)b}{(5b)b + 14b^2}$

Выполним преобразования:

$\frac{4(25b^2) - 5b^2}{5b^2 + 14b^2} = \frac{100b^2 - 5b^2}{19b^2} = \frac{95b^2}{19b^2}$

Поскольку $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b^2$:

$\frac{95}{19} = 5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 5