Номер 58, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 58, страница 18.

Условие.

58. Решите уравнение:

1) $\frac{x+1}{x+1} = 1;$

2) $\frac{x^2-25}{x-5} = 10;$

3) $\frac{x+6}{|x|-6} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x+1}{x+1} = 1$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Его левая часть определена только в том случае, если знаменатель не равен нулю. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ: $x+1 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq -1$.

При всех значениях $x$, которые входят в ОДЗ (то есть при $x \neq -1$), числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю. Это означает, что их отношение всегда равно 1. Таким образом, уравнение принимает вид $1=1$, что является верным равенством для всех допустимых $x$.

Следовательно, решением уравнения являются все действительные числа, за исключением $-1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

---

2) $\frac{x^2-25}{x-5} = 10$

Сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Числитель $x^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = 10$.

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 5$, то множитель $(x-5)$ не равен нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$x+5 = 10$.

Решаем полученное линейное уравнение:

$x = 10 - 5$;

$x = 5$.

Теперь необходимо сопоставить полученный корень с ОДЗ. Мы нашли, что $x=5$, однако ОДЗ требует, чтобы $x \neq 5$. Так как найденное значение не входит в область допустимых значений, оно не является корнем уравнения.

Ответ: нет решений.

---

3) $\frac{x+6}{|x|-6} = 0$

Дробное уравнение равно нулю в том и только в том случае, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x+6=0 \\ |x|-6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x+6=0 \implies x=-6$.

Это единственный кандидат в корни уравнения. Теперь проверим, удовлетворяет ли он второму условию, то есть не обращает ли он знаменатель в ноль.

Подставим $x=-6$ в выражение для знаменателя:

$|x|-6 = |-6|-6 = 6-6 = 0$.

Знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, значение $x=-6$ не является корнем уравнения. Так как других кандидатов в корни у нас не было, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.