Номер 59, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 59, страница 18.

Условие.

59. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8; $

2) $ \frac{|x| - 7}{x - 7} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$

Далее, упростим числитель, разложив его на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$\frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = -8$

Поскольку мы уже определили, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+4)$:
$x - 4 = -8$

Теперь решим получившееся простое линейное уравнение:
$x = -8 + 4$
$x = -4$

Однако, полученный результат $x = -4$ противоречит нашей области допустимых значений ($x \neq -4$). Это означает, что корень является посторонним. Следовательно, у исходного уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

2)

Дано уравнение $\frac{|x| - 7}{x - 7} = 0$.

Дробное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе из уравнения и неравенства:
$\begin{cases} |x| - 7 = 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$|x| - 7 = 0$
$|x| = 7$
У этого уравнения есть два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Теперь проверим эти корни на соответствие второму условию системы (ОДЗ):
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$.

- Проверяем корень $x_1 = 7$. Он не удовлетворяет условию $x \neq 7$, поэтому это посторонний корень.
- Проверяем корень $x_2 = -7$. Он удовлетворяет условию $x \neq 7$ (поскольку $-7 \neq 7$).

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -7$.

Ответ: -7.