Номер 54, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 54, страница 18.

Условие.

54. Существует ли такое значение $a$, при котором дробь $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы алгебраическая дробь была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю.

1. Найдем значения $a$, при которых числитель равен нулю.

Приравняем числитель $a^3 - a^2 - a + 1$ к нулю:

$a^3 - a^2 - a + 1 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки слагаемых:

$a^2(a - 1) - 1(a - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a - 1)(a^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $a^2 - 1$:

$(a - 1)(a - 1)(a + 1) = 0$

$(a - 1)^2(a + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:

$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$

$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$

Итак, числитель обращается в ноль при $a=1$ и $a=-1$.

2. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденных значениях $a$.

Знаменатель дроби: $a^3 + a^2 + a + 1$.

Проверка для $a = 1$:

Подставим $a = 1$ в выражение для знаменателя:

$1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

Поскольку $4 \neq 0$, знаменатель не равен нулю. Значит, при $a=1$ дробь существует и ее значение равно $\frac{0}{4} = 0$.

Проверка для $a = -1$:

Подставим $a = -1$ в выражение для знаменателя:

$(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0$

Поскольку знаменатель равен нулю, при $a = -1$ дробь не определена (происходит деление на ноль).

Таким образом, мы нашли значение $a=1$, при котором числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, такое значение $a$ существует.

Ответ: Да, такое значение существует. При $a = 1$ дробь равна нулю.