Номер 49, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 49, страница 17.

Условие.

49. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) $ \frac{3a}{3a-2} $, $ \frac{a}{9a+6} $ и $ \frac{a^2}{9a^2b - 4b} $;

2) $ \frac{1}{a-5b} $, $ \frac{1}{a^2+7ac} $ и $ \frac{1}{a^2+7ac-5ab-35bc} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для того чтобы привести дроби $ \frac{3a}{3a-2} $, $ \frac{a}{9a+6} $ и $ \frac{a^2}{9a^2b - 4b} $ к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ).

1. Разложим знаменатели данных дробей на множители:

• Знаменатель первой дроби $ 3a-2 $ уже является простым выражением.
• Знаменатель второй дроби: $ 9a+6 = 3(3a+2) $.
• Знаменатель третьей дроби: $ 9a^2b - 4b = b(9a^2-4) $. Применим формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ к выражению $ 9a^2-4 = (3a)^2 - 2^2 $. Получим: $ b(3a-2)(3a+2) $.

Итак, знаменатели в разложенном виде: $ (3a-2) $, $ 3(3a+2) $, $ b(3a-2)(3a+2) $.

2. Найдем наименьший общий знаменатель. Он равен произведению всех уникальных множителей в их наивысших степенях.

НОЗ = $ 3 \cdot b \cdot (3a-2) \cdot (3a+2) = 3b(9a^2-4) $.

3. Определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель соответствующей дроби:

• Для дроби $ \frac{3a}{3a-2} $ дополнительный множитель: $ \frac{3b(3a-2)(3a+2)}{3a-2} = 3b(3a+2) $.
• Для дроби $ \frac{a}{9a+6} $ дополнительный множитель: $ \frac{3b(3a-2)(3a+2)}{3(3a+2)} = b(3a-2) $.
• Для дроби $ \frac{a^2}{9a^2b-4b} $ дополнительный множитель: $ \frac{3b(3a-2)(3a+2)}{b(3a-2)(3a+2)} = 3 $.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

• $ \frac{3a}{3a-2} = \frac{3a \cdot 3b(3a+2)}{3b(3a-2)(3a+2)} = \frac{9ab(3a+2)}{3b(9a^2-4)} = \frac{27a^2b+18ab}{3b(9a^2-4)} $
• $ \frac{a}{9a+6} = \frac{a \cdot b(3a-2)}{3b(3a+2)(3a-2)} = \frac{ab(3a-2)}{3b(9a^2-4)} = \frac{3a^2b-2ab}{3b(9a^2-4)} $
• $ \frac{a^2}{9a^2b-4b} = \frac{a^2 \cdot 3}{3b(9a^2-4)} = \frac{3a^2}{3b(9a^2-4)} $

Ответ: $ \frac{27a^2b+18ab}{3b(9a^2-4)}, \frac{3a^2b-2ab}{3b(9a^2-4)}, \frac{3a^2}{3b(9a^2-4)} $.

2)

Даны дроби $ \frac{1}{a-5b} $, $ \frac{1}{a^2+7ac} $ и $ \frac{1}{a^2 + 7ac - 5ab - 35bc} $.

1. Разложим знаменатели на множители:

• Знаменатель первой дроби $ a-5b $ уже является простым выражением.
• Знаменатель второй дроби: $ a^2+7ac = a(a+7c) $.
• Знаменатель третьей дроби разложим методом группировки:
  $ a^2 + 7ac - 5ab - 35bc = (a^2 + 7ac) - (5ab + 35bc) = a(a+7c) - 5b(a+7c) = (a-5b)(a+7c) $.

Итак, знаменатели в разложенном виде: $ (a-5b) $, $ a(a+7c) $, $ (a-5b)(a+7c) $.

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ):

НОЗ = $ a \cdot (a-5b) \cdot (a+7c) $.

3. Определим дополнительные множители для каждой дроби:

• Для дроби $ \frac{1}{a-5b} $ дополнительный множитель: $ \frac{a(a-5b)(a+7c)}{a-5b} = a(a+7c) $.
• Для дроби $ \frac{1}{a^2+7ac} $ дополнительный множитель: $ \frac{a(a-5b)(a+7c)}{a(a+7c)} = a-5b $.
• Для дроби $ \frac{1}{(a-5b)(a+7c)} $ дополнительный множитель: $ \frac{a(a-5b)(a+7c)}{(a-5b)(a+7c)} = a $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

• $ \frac{1}{a-5b} = \frac{1 \cdot a(a+7c)}{a(a-5b)(a+7c)} = \frac{a^2+7ac}{a(a-5b)(a+7c)} $
• $ \frac{1}{a^2+7ac} = \frac{1 \cdot (a-5b)}{a(a+7c)(a-5b)} = \frac{a-5b}{a(a-5b)(a+7c)} $
• $ \frac{1}{a^2 + 7ac - 5ab - 35bc} = \frac{1 \cdot a}{a(a-5b)(a+7c)} = \frac{a}{a(a-5b)(a+7c)} $

Ответ: $ \frac{a^2+7ac}{a(a-5b)(a+7c)}, \frac{a-5b}{a(a-5b)(a+7c)}, \frac{a}{a(a-5b)(a+7c)} $.