Номер 42, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 42, страница 16.

Условие.

42. Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) $ \frac{1}{8ab} $ и $ \frac{1}{2a^3} $;

2) $ \frac{3x}{7m^3n^3} $ и $ \frac{4y}{3m^2n^4} $;

3) $ \frac{a+b}{a-b} $ и $ \frac{2}{a^2-b^2} $;

4) $ \frac{3d}{m-n} $ и $ \frac{8p}{(m-n)^2} $;

5) $ \frac{x}{2x+1} $ и $ \frac{x}{3x-2} $;

6) $ \frac{a-b}{3a+3b} $ и $ \frac{a}{a^2-b^2} $;

7) $ \frac{3a}{4a-4} $ и $ \frac{2a}{5-5a} $;

8) $ \frac{7a}{b-3} $ и $ \frac{c}{9-b^2} $;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Даны дроби $\frac{1}{8ab}$ и $\frac{1}{2a^3}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $8ab$ и $2a^3$.

НОК коэффициентов 8 и 2 равно 8.

НОК переменных частей $ab$ и $a^3$ равно $a^3b$ (берем каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях).

Следовательно, общий знаменатель равен $8a^3b$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для первой дроби $\frac{1}{8ab}$ дополнительный множитель: $\frac{8a^3b}{8ab} = a^2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $a^2$: $\frac{1}{8ab} = \frac{1 \cdot a^2}{8ab \cdot a^2} = \frac{a^2}{8a^3b}$.

Для второй дроби $\frac{1}{2a^3}$ дополнительный множитель: $\frac{8a^3b}{2a^3} = 4b$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $4b$: $\frac{1}{2a^3} = \frac{1 \cdot 4b}{2a^3 \cdot 4b} = \frac{4b}{8a^3b}$.

Ответ: $\frac{a^2}{8a^3b}$ и $\frac{4b}{8a^3b}$.

2) Даны дроби $\frac{3x}{7m^3n^3}$ и $\frac{4y}{3m^2n^4}$.

Найдем НОК знаменателей $7m^3n^3$ и $3m^2n^4$.

НОК коэффициентов 7 и 3 равно $7 \cdot 3 = 21$.

НОК переменных частей $m^3n^3$ и $m^2n^4$ равно $m^3n^4$.

Общий знаменатель: $21m^3n^4$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{21m^3n^4}{7m^3n^3} = 3n$.

$\frac{3x}{7m^3n^3} = \frac{3x \cdot 3n}{7m^3n^3 \cdot 3n} = \frac{9xn}{21m^3n^4}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{21m^3n^4}{3m^2n^4} = 7m$.

$\frac{4y}{3m^2n^4} = \frac{4y \cdot 7m}{3m^2n^4 \cdot 7m} = \frac{28my}{21m^3n^4}$.

Ответ: $\frac{9xn}{21m^3n^4}$ и $\frac{28my}{21m^3n^4}$.

3) Даны дроби $\frac{a+b}{a-b}$ и $\frac{2}{a^2-b^2}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатели: $a-b$ и $(a-b)(a+b)$.

Общий знаменатель: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$.

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$.

Знаменатель второй дроби уже является общим, поэтому она не изменяется.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$ и $\frac{2}{a^2-b^2}$.

4) Даны дроби $\frac{3d}{m-n}$ и $\frac{8p}{(m-n)^2}$.

Знаменатели: $m-n$ и $(m-n)^2$.

Общий знаменатель — это $(m-n)^2$, так как это наименьшее общее кратное.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(m-n)^2}{m-n} = m-n$.

$\frac{3d}{m-n} = \frac{3d(m-n)}{(m-n)(m-n)} = \frac{3d(m-n)}{(m-n)^2}$.

Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{3d(m-n)}{(m-n)^2}$ и $\frac{8p}{(m-n)^2}$.

5) Даны дроби $\frac{x}{2x+1}$ и $\frac{x}{3x-2}$.

Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ являются взаимно простыми.

Общий знаменатель равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3x-2$.

$\frac{x}{2x+1} = \frac{x(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3x^2-2x}{(2x+1)(3x-2)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $2x+1$.

$\frac{x}{3x-2} = \frac{x(2x+1)}{(3x-2)(2x+1)} = \frac{2x^2+x}{(2x+1)(3x-2)}$.

Ответ: $\frac{3x^2-2x}{(2x+1)(3x-2)}$ и $\frac{2x^2+x}{(2x+1)(3x-2)}$.

6) Даны дроби $\frac{a-b}{3a+3b}$ и $\frac{a}{a^2-b^2}$.

Разложим знаменатели на множители:

$3a+3b = 3(a+b)$.

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Общий знаменатель: $3(a+b)(a-b) = 3(a^2-b^2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3(a+b)(a-b)}{3(a+b)} = a-b$.

$\frac{a-b}{3(a+b)} = \frac{(a-b)(a-b)}{3(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{3(a^2-b^2)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = 3$.

$\frac{a}{a^2-b^2} = \frac{a \cdot 3}{3(a^2-b^2)} = \frac{3a}{3(a^2-b^2)}$.

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{3(a^2-b^2)}$ и $\frac{3a}{3(a^2-b^2)}$.

7) Даны дроби $\frac{3a}{4a-4}$ и $\frac{2a}{5-5a}$.

Разложим знаменатели на множители:

$4a-4 = 4(a-1)$.

$5-5a = 5(1-a) = -5(a-1)$.

Общий знаменатель: НОК(4, 5) $\cdot (a-1) = 20(a-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{20(a-1)}{4(a-1)} = 5$.

$\frac{3a}{4(a-1)} = \frac{3a \cdot 5}{4(a-1) \cdot 5} = \frac{15a}{20(a-1)}$.

Для второй дроби $\frac{2a}{-5(a-1)}$ дополнительный множитель: $\frac{20(a-1)}{-5(a-1)} = -4$.

$\frac{2a}{-5(a-1)} = \frac{2a \cdot (-4)}{-5(a-1) \cdot (-4)} = \frac{-8a}{20(a-1)}$.

Ответ: $\frac{15a}{20(a-1)}$ и $\frac{-8a}{20(a-1)}$.

8) Даны дроби $\frac{7a}{b-3}$ и $\frac{c}{9-b^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $9-b^2 = (3-b)(3+b)$.

Заметим, что $b-3 = -(3-b)$.

Общий знаменатель: $(3-b)(3+b) = 9-b^2$.

Преобразуем первую дробь, чтобы ее знаменатель содержал множитель $(3-b)$:

$\frac{7a}{b-3} = \frac{7a}{-(3-b)} = \frac{-7a}{3-b}$.

Дополнительный множитель для преобразованной первой дроби: $\frac{(3-b)(3+b)}{3-b} = 3+b$.

$\frac{-7a}{3-b} = \frac{-7a(3+b)}{(3-b)(3+b)} = \frac{-7a(3+b)}{9-b^2}$.

Вторая дробь $\frac{c}{9-b^2}$ уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{-7a(3+b)}{9-b^2}$ и $\frac{c}{9-b^2}$.