Номер 42, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 42, страница 16.
№42 (с. 16)
Условие. №42 (с. 16)
скриншот условия

42. Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями:
1) $ \frac{1}{8ab} $ и $ \frac{1}{2a^3} $;
2) $ \frac{3x}{7m^3n^3} $ и $ \frac{4y}{3m^2n^4} $;
3) $ \frac{a+b}{a-b} $ и $ \frac{2}{a^2-b^2} $;
4) $ \frac{3d}{m-n} $ и $ \frac{8p}{(m-n)^2} $;
5) $ \frac{x}{2x+1} $ и $ \frac{x}{3x-2} $;
6) $ \frac{a-b}{3a+3b} $ и $ \frac{a}{a^2-b^2} $;
7) $ \frac{3a}{4a-4} $ и $ \frac{2a}{5-5a} $;
8) $ \frac{7a}{b-3} $ и $ \frac{c}{9-b^2} $;
Решение 1. №42 (с. 16)








Решение 2. №42 (с. 16)

Решение 3. №42 (с. 16)

Решение 4. №42 (с. 16)

Решение 5. №42 (с. 16)

Решение 6. №42 (с. 16)

Решение 7. №42 (с. 16)

Решение 8. №42 (с. 16)
1) Даны дроби $\frac{1}{8ab}$ и $\frac{1}{2a^3}$.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $8ab$ и $2a^3$.
НОК коэффициентов 8 и 2 равно 8.
НОК переменных частей $ab$ и $a^3$ равно $a^3b$ (берем каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях).
Следовательно, общий знаменатель равен $8a^3b$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби $\frac{1}{8ab}$ дополнительный множитель: $\frac{8a^3b}{8ab} = a^2$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $a^2$: $\frac{1}{8ab} = \frac{1 \cdot a^2}{8ab \cdot a^2} = \frac{a^2}{8a^3b}$.
Для второй дроби $\frac{1}{2a^3}$ дополнительный множитель: $\frac{8a^3b}{2a^3} = 4b$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $4b$: $\frac{1}{2a^3} = \frac{1 \cdot 4b}{2a^3 \cdot 4b} = \frac{4b}{8a^3b}$.
Ответ: $\frac{a^2}{8a^3b}$ и $\frac{4b}{8a^3b}$.
2) Даны дроби $\frac{3x}{7m^3n^3}$ и $\frac{4y}{3m^2n^4}$.
Найдем НОК знаменателей $7m^3n^3$ и $3m^2n^4$.
НОК коэффициентов 7 и 3 равно $7 \cdot 3 = 21$.
НОК переменных частей $m^3n^3$ и $m^2n^4$ равно $m^3n^4$.
Общий знаменатель: $21m^3n^4$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{21m^3n^4}{7m^3n^3} = 3n$.
$\frac{3x}{7m^3n^3} = \frac{3x \cdot 3n}{7m^3n^3 \cdot 3n} = \frac{9xn}{21m^3n^4}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{21m^3n^4}{3m^2n^4} = 7m$.
$\frac{4y}{3m^2n^4} = \frac{4y \cdot 7m}{3m^2n^4 \cdot 7m} = \frac{28my}{21m^3n^4}$.
Ответ: $\frac{9xn}{21m^3n^4}$ и $\frac{28my}{21m^3n^4}$.
3) Даны дроби $\frac{a+b}{a-b}$ и $\frac{2}{a^2-b^2}$.
Разложим знаменатели на множители. Знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Знаменатели: $a-b$ и $(a-b)(a+b)$.
Общий знаменатель: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$.
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$.
Знаменатель второй дроби уже является общим, поэтому она не изменяется.
Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$ и $\frac{2}{a^2-b^2}$.
4) Даны дроби $\frac{3d}{m-n}$ и $\frac{8p}{(m-n)^2}$.
Знаменатели: $m-n$ и $(m-n)^2$.
Общий знаменатель — это $(m-n)^2$, так как это наименьшее общее кратное.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(m-n)^2}{m-n} = m-n$.
$\frac{3d}{m-n} = \frac{3d(m-n)}{(m-n)(m-n)} = \frac{3d(m-n)}{(m-n)^2}$.
Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.
Ответ: $\frac{3d(m-n)}{(m-n)^2}$ и $\frac{8p}{(m-n)^2}$.
5) Даны дроби $\frac{x}{2x+1}$ и $\frac{x}{3x-2}$.
Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ являются взаимно простыми.
Общий знаменатель равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $3x-2$.
$\frac{x}{2x+1} = \frac{x(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3x^2-2x}{(2x+1)(3x-2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $2x+1$.
$\frac{x}{3x-2} = \frac{x(2x+1)}{(3x-2)(2x+1)} = \frac{2x^2+x}{(2x+1)(3x-2)}$.
Ответ: $\frac{3x^2-2x}{(2x+1)(3x-2)}$ и $\frac{2x^2+x}{(2x+1)(3x-2)}$.
6) Даны дроби $\frac{a-b}{3a+3b}$ и $\frac{a}{a^2-b^2}$.
Разложим знаменатели на множители:
$3a+3b = 3(a+b)$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Общий знаменатель: $3(a+b)(a-b) = 3(a^2-b^2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3(a+b)(a-b)}{3(a+b)} = a-b$.
$\frac{a-b}{3(a+b)} = \frac{(a-b)(a-b)}{3(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{3(a^2-b^2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = 3$.
$\frac{a}{a^2-b^2} = \frac{a \cdot 3}{3(a^2-b^2)} = \frac{3a}{3(a^2-b^2)}$.
Ответ: $\frac{(a-b)^2}{3(a^2-b^2)}$ и $\frac{3a}{3(a^2-b^2)}$.
7) Даны дроби $\frac{3a}{4a-4}$ и $\frac{2a}{5-5a}$.
Разложим знаменатели на множители:
$4a-4 = 4(a-1)$.
$5-5a = 5(1-a) = -5(a-1)$.
Общий знаменатель: НОК(4, 5) $\cdot (a-1) = 20(a-1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{20(a-1)}{4(a-1)} = 5$.
$\frac{3a}{4(a-1)} = \frac{3a \cdot 5}{4(a-1) \cdot 5} = \frac{15a}{20(a-1)}$.
Для второй дроби $\frac{2a}{-5(a-1)}$ дополнительный множитель: $\frac{20(a-1)}{-5(a-1)} = -4$.
$\frac{2a}{-5(a-1)} = \frac{2a \cdot (-4)}{-5(a-1) \cdot (-4)} = \frac{-8a}{20(a-1)}$.
Ответ: $\frac{15a}{20(a-1)}$ и $\frac{-8a}{20(a-1)}$.
8) Даны дроби $\frac{7a}{b-3}$ и $\frac{c}{9-b^2}$.
Разложим знаменатель второй дроби на множители: $9-b^2 = (3-b)(3+b)$.
Заметим, что $b-3 = -(3-b)$.
Общий знаменатель: $(3-b)(3+b) = 9-b^2$.
Преобразуем первую дробь, чтобы ее знаменатель содержал множитель $(3-b)$:
$\frac{7a}{b-3} = \frac{7a}{-(3-b)} = \frac{-7a}{3-b}$.
Дополнительный множитель для преобразованной первой дроби: $\frac{(3-b)(3+b)}{3-b} = 3+b$.
$\frac{-7a}{3-b} = \frac{-7a(3+b)}{(3-b)(3+b)} = \frac{-7a(3+b)}{9-b^2}$.
Вторая дробь $\frac{c}{9-b^2}$ уже имеет общий знаменатель.
Ответ: $\frac{-7a(3+b)}{9-b^2}$ и $\frac{c}{9-b^2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 42 расположенного на странице 16 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42 (с. 16), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.