Номер 36, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 36, страница 15.

Условие.

36. Сократите дробь:

1) $\frac{a(x+2)}{b(x+2)};$

2) $\frac{4(a-6)^2}{(a-6)^3};$

3) $\frac{c^3(c-4)^5}{c^6(c-4)^3};$

4) $\frac{2a+2b}{7(a+b)};$

5) $\frac{7x-21y}{5x-15y};$

6) $\frac{4a-20b}{12ab};$

7) $\frac{6x+12}{6x};$

8) $\frac{a-5b}{a^2-5ab};$

9) $\frac{y^2-25}{10+2y};$

10) $\frac{a^2+4a+4}{9a+18};$

11) $\frac{c^2-6c+9}{c^2-9};$

12) $\frac{m^3+1}{m^2-m+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана дробь $\frac{a(x+2)}{b(x+2)}$.
Числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x+2)$. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $x+2 \neq 0$).
$\frac{a(x+2)}{b(x+2)} = \frac{a}{b}$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

2) Дана дробь $\frac{4(a-6)^2}{(a-6)^3}$.
Представим знаменатель в виде $(a-6)^3 = (a-6)^2 \cdot (a-6)$.
Дробь примет вид: $\frac{4(a-6)^2}{(a-6)^2 \cdot (a-6)}$.
Сократим общий множитель $(a-6)^2$ (при условии, что $a-6 \neq 0$).
$\frac{4\cancel{(a-6)^2}}{\cancel{(a-6)^2} \cdot (a-6)} = \frac{4}{a-6}$.
Ответ: $\frac{4}{a-6}$

3) Дана дробь $\frac{c^3(c-4)^5}{c^6(c-4)^3}$.
Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$.
Для основания $c$: $\frac{c^3}{c^6} = c^{3-6} = c^{-3} = \frac{1}{c^3}$.
Для основания $(c-4)$: $\frac{(c-4)^5}{(c-4)^3} = (c-4)^{5-3} = (c-4)^2$.
Объединив результаты, получаем: $\frac{(c-4)^2}{c^3}$.
Ответ: $\frac{(c-4)^2}{c^3}$

4) Дана дробь $\frac{2a+2b}{7(a+b)}$.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a+2b = 2(a+b)$.
Дробь примет вид: $\frac{2(a+b)}{7(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq 0$).
$\frac{2\cancel{(a+b)}}{7\cancel{(a+b)}} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$

5) Дана дробь $\frac{7x-21y}{5x-15y}$.
В числителе вынесем общий множитель 7 за скобки: $7x-21y = 7(x-3y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5x-15y = 5(x-3y)$.
Дробь примет вид: $\frac{7(x-3y)}{5(x-3y)}$.
Сократим общий множитель $(x-3y)$ (при условии, что $x-3y \neq 0$).
$\frac{7\cancel{(x-3y)}}{5\cancel{(x-3y)}} = \frac{7}{5}$.
Ответ: $\frac{7}{5}$

6) Дана дробь $\frac{4a-20b}{12ab}$.
В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4a-20b = 4(a-5b)$.
Дробь примет вид: $\frac{4(a-5b)}{12ab}$.
Сократим числовые коэффициенты 4 и 12: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$\frac{4(a-5b)}{12ab} = \frac{a-5b}{3ab}$.
Ответ: $\frac{a-5b}{3ab}$

7) Дана дробь $\frac{6x+12}{6x}$.
В числителе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6x+12 = 6(x+2)$.
Дробь примет вид: $\frac{6(x+2)}{6x}$.
Сократим общий множитель 6 (при условии, что $x \neq 0$).
$\frac{6(x+2)}{6x} = \frac{x+2}{x}$.
Дробь также можно записать как $1 + \frac{2}{x}$.
Ответ: $\frac{x+2}{x}$

8) Дана дробь $\frac{a-5b}{a^2-5ab}$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2-5ab = a(a-5b)$.
Дробь примет вид: $\frac{a-5b}{a(a-5b)}$.
Сократим общий множитель $(a-5b)$ (при условии, что $a-5b \neq 0$ и $a \neq 0$).
$\frac{\cancel{a-5b}}{a\cancel{(a-5b)}} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

9) Дана дробь $\frac{y^2-25}{10+2y}$.
Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $10+2y = 2(5+y)$.
Дробь примет вид: $\frac{(y-5)(y+5)}{2(5+y)}$.
Сократим общий множитель $(y+5)$ (так как $y+5 = 5+y$, при условии что $y+5 \neq 0$).
$\frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{2\cancel{(5+y)}} = \frac{y-5}{2}$.
Ответ: $\frac{y-5}{2}$

10) Дана дробь $\frac{a^2+4a+4}{9a+18}$.
Числитель является полным квадратом, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $a^2+4a+4 = (a+2)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 9 за скобки: $9a+18 = 9(a+2)$.
Дробь примет вид: $\frac{(a+2)^2}{9(a+2)}$.
Сократим общий множитель $(a+2)$ (при условии, что $a+2 \neq 0$).
$\frac{(a+2)^{\cancel{2}}}{9\cancel{(a+2)}} = \frac{a+2}{9}$.
Ответ: $\frac{a+2}{9}$

11) Дана дробь $\frac{c^2-6c+9}{c^2-9}$.
Числитель является полным квадратом: $c^2-6c+9 = (c-3)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $c^2-9 = (c-3)(c+3)$.
Дробь примет вид: $\frac{(c-3)^2}{(c-3)(c+3)}$.
Сократим общий множитель $(c-3)$ (при условии, что $c-3 \neq 0$ и $c+3 \neq 0$).
$\frac{(c-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(c-3)}(c+3)} = \frac{c-3}{c+3}$.
Ответ: $\frac{c-3}{c+3}$

12) Дана дробь $\frac{m^3+1}{m^2-m+1}$.
Разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $m^3+1 = m^3+1^3 = (m+1)(m^2-m+1)$.
Дробь примет вид: $\frac{(m+1)(m^2-m+1)}{m^2-m+1}$.
Сократим общий множитель $(m^2-m+1)$. (Выражение $m^2-m+1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$).
$\frac{(m+1)\cancel{(m^2-m+1)}}{\cancel{m^2-m+1}} = m+1$.
Ответ: $m+1$