Номер 31, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 31, страница 14.

Условие.

31. Сократите дробь:

1) $\frac{3x}{21y}$;

2) $\frac{5x^2}{6x}$;

3) $\frac{5c^4}{10c^5}$;

4) $\frac{2m^4}{m^3}$;

5) $\frac{16ab^4}{40ab^2}$;

6) $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$;

7) $\frac{12a^8}{-42a^2}$;

8) $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3x}{21y}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и сократим переменные, если это возможно.
Коэффициенты 3 и 21 имеют НОД равный 3.
Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{21} = \frac{3 \div 3}{21 \div 3} = \frac{1}{7}$.
Переменные $x$ и $y$ различны, поэтому их сократить нельзя.
Таким образом, получаем: $\frac{3x}{21y} = \frac{x}{7y}$.
Ответ: $\frac{x}{7y}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{5x^2}{6x}$.
Коэффициенты 5 и 6 являются взаимно простыми числами (их НОД равен 1), поэтому их сократить нельзя.
Сократим степени переменной $x$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x^1 = x$.
Объединяем результаты: $\frac{5x}{6}$.
Ответ: $\frac{5x}{6}$.

3) Сократим дробь $\frac{5c^4}{10c^5}$.
Сократим числовые коэффициенты 5 и 10. Их НОД равен 5.
$\frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.
Сократим степени переменной $c$:
$\frac{c^4}{c^5} = \frac{1}{c^{5-4}} = \frac{1}{c^1} = \frac{1}{c}$.
Объединяем результаты: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot c} = \frac{1}{2c}$.
Ответ: $\frac{1}{2c}$.

4) Сократим дробь $\frac{2m^4}{m^3}$.
Числовой коэффициент в числителе равен 2, а в знаменателе 1. Они не сокращаются.
Сократим степени переменной $m$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{m^4}{m^3} = m^{4-3} = m^1 = m$.
В результате получаем: $2m$.
Ответ: $2m$.

5) Сократим дробь $\frac{16ab^4}{40ab^2}$.
Найдем НОД для коэффициентов 16 и 40. НОД(16, 40) = 8.
$\frac{16}{40} = \frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}$.
Сократим переменные:
$\frac{a}{a} = 1$.
$\frac{b^4}{b^2} = b^{4-2} = b^2$.
Объединяем все части: $\frac{2 \cdot 1 \cdot b^2}{5 \cdot 1} = \frac{2b^2}{5}$.
Ответ: $\frac{2b^2}{5}$.

6) Сократим дробь $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$.
Найдем НОД для коэффициентов 63 и 42. НОД(63, 42) = 21.
$\frac{63}{42} = \frac{63 \div 21}{42 \div 21} = \frac{3}{2}$.
Сократим степени переменных $x$ и $y$:
$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x$.
$\frac{y^4}{y^5} = \frac{1}{y^{5-4}} = \frac{1}{y}$.
Объединяем результаты: $\frac{3 \cdot x}{2 \cdot y} = \frac{3x}{2y}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y}$.

7) Сократим дробь $\frac{12a^8}{-42a^2}$.
Результат деления будет отрицательным.
Найдем НОД для коэффициентов 12 и 42. НОД(12, 42) = 6.
$\frac{12}{42} = \frac{12 \div 6}{42 \div 6} = \frac{2}{7}$.
Сократим степени переменной $a$:
$\frac{a^8}{a^2} = a^{8-2} = a^6$.
Собираем все вместе, не забывая про знак минус: $-\frac{2a^6}{7}$.
Ответ: $-\frac{2a^6}{7}$.

8) Сократим дробь $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.
Результат деления будет отрицательным.
Найдем НОД для коэффициентов 13 и 26. НОД(13, 26) = 13.
$\frac{13}{26} = \frac{13 \div 13}{26 \div 13} = \frac{1}{2}$.
Сократим степени переменных $a$ и $b$:
$\frac{a^5}{a^4} = a^{5-4} = a$.
$\frac{b^5}{b^3} = b^{5-3} = b^2$.
Объединяем результаты, учитывая знак: $-\frac{1 \cdot a \cdot b^2}{2} = -\frac{ab^2}{2}$.
Ответ: $-\frac{ab^2}{2}$.