Страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие выражения называют тождественно равными?

1.

Тождественно равными называют два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Если выражения не содержат переменных (числовые выражения), они считаются тождественно равными, если их значения одинаковы.

Равенство, которое является верным при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

Чтобы понять это лучше, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Выражения $a(b+c)$ и $ab+ac$ являются тождественно равными. Это следует из распределительного закона умножения. Какими бы ни были числа $a$, $b$ и $c$, результат вычисления обоих выражений всегда будет одинаковым. Например, если $a=2$, $b=3$, $c=4$:
$a(b+c) = 2(3+4) = 2 \cdot 7 = 14$
$ab+ac = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14$
Равенство $a(b+c) = ab+ac$ — это тождество.

Пример 2: Выражения $(x-y)(x+y)$ и $x^2-y^2$ являются тождественно равными. Это одна из формул сокращенного умножения (разность квадратов). Для любых значений $x$ и $y$ значения выражений будут совпадать.

Пример 3 (с учетом области допустимых значений): Выражения $\frac{a^2-9}{a+3}$ и $a-3$ тождественно равны, но только на их общей области допустимых значений (ОДЗ). Для первого выражения ОДЗ — все числа, кроме $a=-3$ (так как знаменатель не может быть равен нулю). Для второго выражения ОДЗ — любое число. Таким образом, эти выражения тождественно равны для всех $a \neq -3$.

Пример выражений, которые НЕ являются тождественно равными: Выражения $x^2$ и $2x$. Хотя они равны при некоторых значениях (например, при $x=0$ и $x=2$), они не равны при всех остальных. Например, при $x=1$ получаем $1^2=1$, а $2 \cdot 1=2$. Так как равенство не выполняется для всех допустимых значений переменной, эти выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Тождественно равными называются выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.

2. Что называют тождеством?

В математике тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Это означает, что какое бы числовое значение из области определения мы ни подставили вместо переменной (или набора переменных), мы всегда получим верное числовое равенство.

Основное отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение, как правило, справедливо лишь для определённого набора значений переменных (которые называют корнями или решениями), в то время как тождество справедливо для всего множества допустимых значений. Например, равенство $2x = 10$ является уравнением, так как оно верно только при $x=5$. В то же время равенство $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ — это тождество, так как оно верно для абсолютно любых значений $a$ и $b$.

Примеры известных тождеств:

• Алгебраические тождества (формулы сокращённого умножения):
  • Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
  • Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Тригонометрические тождества:
  • Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
  • Формула двойного угла для синуса: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Процесс замены одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием. Тождественные преобразования являются ключевым инструментом для упрощения выражений, решения уравнений и неравенств, а также для доказательства других математических утверждений.

Ответ: Тождество — это равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.

Основное свойство рациональной дроби аналогично основному свойству обыкновенной дроби и заключается в следующем: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ являются многочленами, и $B$ — ненулевой многочлен.

Формально основное свойство можно записать в виде тождества. Для любой рациональной дроби $\frac{A}{B}$ и любого ненулевого многочлена $C$ (то есть $C \neq 0$) справедливо равенство:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

Это тождество верно для всех значений переменных, при которых знаменатели $B$ и $B \cdot C$ не равны нулю. Обратное действие — деление числителя и знаменателя на их общий множитель — называется сокращением дроби:

$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$

Это свойство имеет два ключевых применения:

1. Приведение дробей к новому (общему) знаменателю. Это действие необходимо для выполнения сложения и вычитания рациональных дробей.
Пример. Привести дробь $\frac{x+3}{x-1}$ к знаменателю $x^2-1$.
Сначала разложим новый знаменатель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Чтобы получить из старого знаменателя $(x-1)$ новый, необходимо домножить его на многочлен $(x+1)$. Этот многочлен называется дополнительным множителем. Умножим на него и числитель, и знаменатель исходной дроби:
$\frac{x+3}{x-1} = \frac{(x+3) \cdot (x+1)}{(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{x^2+4x+3}{x^2-1}$.

2. Сокращение рациональных дробей. Это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий множитель.
Пример. Сократить дробь $\frac{y^2-16}{3y+12}$.
Для нахождения общего множителя разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель (разность квадратов): $y^2-16 = (y-4)(y+4)$.
Знаменатель (вынесение общего множителя за скобки): $3y+12 = 3(y+4)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}$.
Общим множителем является $(y+4)$. Сократим на него дробь (при условии, что $y+4 \neq 0$):
$\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)} = \frac{y-4}{3}$.

Ответ: Основное свойство рациональной дроби заключается в том, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен. Для любой рациональной дроби $\frac{A}{B}$ и любого ненулевого многочлена $C$ справедливо тождество: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, при условии, что $B \neq 0$ и $C \neq 0$.

27. Какому из приведённых выражений тождественно равна дробь $ \frac{6a^2}{24a} $:

1) $ \frac{a^2}{4} $;

2) $ \frac{a}{4} $;

3) $ \frac{12a^3}{48a} $;

4) $ \frac{3a^4}{12a^2} $?

Чтобы определить, какому из приведённых выражений тождественно равна дробь $\frac{6a^2}{24a}$, необходимо упростить (сократить) эту дробь. Два выражения тождественно равны, если они принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных, входящих в них. В данном случае, знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $24a \neq 0$, откуда $a \neq 0$.

Упростим исходное выражение $\frac{6a^2}{24a}$, разделив числитель и знаменатель на их общие множители.

1. Сократим числовые коэффициенты 6 и 24. Их наибольший общий делитель равен 6.

$\frac{6}{24} = \frac{6 \div 6}{24 \div 6} = \frac{1}{4}$

2. Сократим степени переменной $a$. Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

3. Объединим полученные результаты:

$\frac{6a^2}{24a} = \frac{1 \cdot a}{4} = \frac{a}{4}$

Теперь сравним полученное выражение $\frac{a}{4}$ с каждым из предложенных вариантов.

1) $\frac{a^2}{4}$

Это выражение не равно $\frac{a}{4}$.

2) $\frac{a}{4}$

Это выражение полностью совпадает с упрощенной исходной дробью.

3) $\frac{12a^3}{48a}$

Упростим данное выражение: сократим коэффициенты $\frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ и переменные $\frac{a^3}{a} = a^2$. В результате получаем $\frac{a^2}{4}$, что не равно $\frac{a}{4}$.

4) $\frac{3a^4}{12a^2}$

Упростим данное выражение: сократим коэффициенты $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ и переменные $\frac{a^4}{a^2} = a^2$. В результате получаем $\frac{a^2}{4}$, что не равно $\frac{a}{4}$.

Таким образом, единственное выражение, которое тождественно равно исходной дроби, — это выражение под номером 2.

Ответ: 2

28. Является ли тождеством равенство:

1) $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$;

2) $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$;

3) $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$;

4) $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$?

1) Чтобы проверить, является ли равенство $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$ тождеством, необходимо определить, выполняется ли оно для всех допустимых значений переменной $m$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для левой части $\frac{3m^2}{7m}$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $7m \neq 0$, откуда $m \neq 0$. Для правой части $\frac{3m}{7}$ знаменатель равен 7 и никогда не равен нулю, поэтому она определена для любого $m$. Общая ОДЗ для всего равенства — это пересечение ОДЗ его частей, то есть $m \neq 0$.

Теперь упростим левую часть равенства, сократив дробь на общий множитель $m$ (что возможно, так как $m \neq 0$):

$\frac{3m^2}{7m} = \frac{3 \cdot m \cdot m}{7 \cdot m} = \frac{3m}{7}$

После упрощения левая часть стала равна правой: $\frac{3m}{7} = \frac{3m}{7}$.

Так как равенство верно для всех допустимых значений переменной, оно является тождеством.

Ответ: да

2) Рассмотрим равенство $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$.

ОДЗ для левой части: $16x^4 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Правая часть определена для всех $x$. Таким образом, общая ОДЗ: $x \neq 0$.

Упростим левую часть. Сократим числовые коэффициенты и степени переменной $x$:

$\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{4}{16} \cdot \frac{x^8}{x^4} = \frac{1}{4} \cdot x^{8-4} = \frac{x^4}{4}$

Сравним полученное выражение с правой частью равенства:

$\frac{x^4}{4} = \frac{x^2}{4}$

Это равенство неверно для большинства допустимых значений $x$. Например, подставим $x=2$ (входит в ОДЗ):

Левая часть: $\frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Правая часть: $\frac{2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Поскольку $4 \neq 1$, равенство не является тождеством.

Ответ: нет

3) Проверим равенство $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$.

ОДЗ для обеих частей определяется условием $c \neq 0$.

Упростим правую часть, сократив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{8b}{20c^5} = \frac{4 \cdot 2b}{4 \cdot 5c^5} = \frac{2b}{5c^5}$

Теперь сравним левую часть с упрощенной правой:

$\frac{2b}{5c^3} = \frac{2b}{5c^5}$

Это равенство не является тождеством, так как знаменатели дробей различны ($c^3$ и $c^5$). Например, при $b=1, c=2$ (входит в ОДЗ):

Левая часть: $\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 2^3} = \frac{2}{5 \cdot 8} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$.

Правая часть: $\frac{8 \cdot 1}{20 \cdot 2^5} = \frac{8}{20 \cdot 32} = \frac{8}{640} = \frac{1}{80}$.

Поскольку $\frac{1}{20} \neq \frac{1}{80}$, равенство не является тождеством.

Ответ: нет

4) Рассмотрим равенство $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$.

ОДЗ для левой части: $9n \neq 0 \implies n \neq 0$. ОДЗ для правой части: $9nm^3 \neq 0 \implies n \neq 0$ и $m \neq 0$. Общая ОДЗ: $n \neq 0$ и $m \neq 0$.

Упростим правую часть равенства, сократив дробь на $m^3$ (возможно, т.к. $m \neq 0$):

$\frac{8m^5}{9nm^3} = \frac{8 \cdot m^{5-3}}{9n} = \frac{8m^2}{9n}$

После упрощения правая часть стала равна левой:

$\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^2}{9n}$

Равенство верно для всех значений переменных из области допустимых значений, следовательно, оно является тождеством.

Ответ: да

29. Сократите дробь:

1) $\frac{14a^3}{21a}$;

2) $\frac{8b^3c^2}{12bc^3}$;

3) $\frac{5x}{20x}$;

4) $\frac{24x^2y^2}{32xy}$;

5) $\frac{4abc}{16ab^4}$;

6) $\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}}؛$

7) $\frac{-10n^{10}}{5n^4}$;

8) $\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{14a^3}{21a}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их друг на друга.
Сначала сократим числовые коэффициенты 14 и 21. Их наибольший общий делитель (НОД) равен 7.
$14 \div 7 = 2$
$21 \div 7 = 3$
Теперь сократим переменные. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{a^3}{a} = \frac{a^3}{a^1} = a^{3-1} = a^2$
Объединим полученные результаты:
$\frac{14a^3}{21a} = \frac{2a^2}{3}$
Ответ: $\frac{2a^2}{3}$

2) Сократим дробь $\frac{8b^3c^2}{12bc^3}$.
Сокращаем коэффициенты 8 и 12. НОД(8, 12) = 4.
$8 \div 4 = 2$
$12 \div 4 = 3$
Сокращаем переменные:
$\frac{b^3}{b} = b^{3-1} = b^2$
$\frac{c^2}{c^3} = c^{2-3} = c^{-1} = \frac{1}{c}$
Собираем все вместе:
$\frac{8b^3c^2}{12bc^3} = \frac{2b^2}{3c}$
Ответ: $\frac{2b^2}{3c}$

3) Сократим дробь $\frac{5x}{20x}$.
Сокращаем коэффициенты 5 и 20. НОД(5, 20) = 5.
$5 \div 5 = 1$
$20 \div 5 = 4$
Сокращаем переменные: $\frac{x}{x} = 1$.
Получаем:
$\frac{5x}{20x} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) Сократим дробь $\frac{24x^2y^2}{32xy}$.
Сокращаем коэффициенты 24 и 32. НОД(24, 32) = 8.
$24 \div 8 = 3$
$32 \div 8 = 4$
Сокращаем переменные:
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$
$\frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y$
Объединяем результаты:
$\frac{24x^2y^2}{32xy} = \frac{3xy}{4}$
Ответ: $\frac{3xy}{4}$

5) Сократим дробь $\frac{4abc}{16ab^4}$.
Сокращаем коэффициенты 4 и 16. НОД(4, 16) = 4.
$4 \div 4 = 1$
$16 \div 4 = 4$
Сокращаем переменные:
$\frac{a}{a} = 1$
$\frac{b}{b^4} = b^{1-4} = b^{-3} = \frac{1}{b^3}$
Переменная $c$ остается в числителе.
Собираем результат:
$\frac{4abc}{16ab^4} = \frac{c}{4b^3}$
Ответ: $\frac{c}{4b^3}$

6) Сократим дробь $\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}}$.
Сокращаем коэффициенты 56 и 42. НОД(56, 42) = 14.
$56 \div 14 = 4$
$42 \div 14 = 3$
Сокращаем переменные:
$\frac{m^5}{m^5} = 1$
$\frac{n^7}{n^{10}} = n^{7-10} = n^{-3} = \frac{1}{n^3}$
Объединяем:
$\frac{56m^5n^7}{42m^5n^{10}} = \frac{4}{3n^3}$
Ответ: $\frac{4}{3n^3}$

7) Сократим дробь $\frac{-10n^{10}}{5n^4}$.
Сокращаем коэффициенты: $\frac{-10}{5} = -2$.
Сокращаем переменные: $\frac{n^{10}}{n^4} = n^{10-4} = n^6$.
Результат:
$\frac{-10n^{10}}{5n^4} = -2n^6$
Ответ: $-2n^6$

8) Сократим дробь $\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7}$.
Сокращаем коэффициенты: $\frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}$.
Сокращаем переменные:
$\frac{p^4}{p^8} = p^{4-8} = p^{-4} = \frac{1}{p^4}$
$\frac{q^6}{q^7} = q^{6-7} = q^{-1} = \frac{1}{q}$
Объединяем все части в знаменателе:
$\frac{3p^4q^6}{-9p^8q^7} = -\frac{1}{3p^4q}$
Ответ: $-\frac{1}{3p^4q}$

30. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:

1) $6a : (18a^5)$;

2) $16b^7 : (48b^4)$;

3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8)$.

1) $6a : (18a^5)$

Чтобы представить частное в виде дроби, мы записываем делимое ($6a$) в числитель, а делитель ($18a^5$) в знаменатель.

$$ \frac{6a}{18a^5} $$

Теперь сократим полученную дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель для 6 и 18 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$$ \frac{6}{18} = \frac{6 \div 6}{18 \div 6} = \frac{1}{3} $$

Затем сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}}$ для $n>m$:

$$ \frac{a}{a^5} = \frac{a^1}{a^5} = \frac{1}{a^{5-1}} = \frac{1}{a^4} $$

Объединяем полученные результаты:

$$ \frac{6a}{18a^5} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot a^4} = \frac{1}{3a^4} $$

Ответ: $\frac{1}{3a^4}$

2) $16b^7 : (48b^4)$

Представим частное в виде дроби, где $16b^7$ — числитель, а $48b^4$ — знаменатель.

$$ \frac{16b^7}{48b^4} $$

Сократим коэффициенты 16 и 48. Их наибольший общий делитель равен 16:

$$ \frac{16}{48} = \frac{16 \div 16}{48 \div 16} = \frac{1}{3} $$

Сократим степени переменной $b$, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для $m>n$:

$$ \frac{b^7}{b^4} = b^{7-4} = b^3 $$

Объединяем результаты. Так как $b^3$ находится в числителе, получаем:

$$ \frac{16b^7}{48b^4} = \frac{1 \cdot b^3}{3} = \frac{b^3}{3} $$

Ответ: $\frac{b^3}{3}$

3) $35a^8b^6 : (-49a^6b^8)$

Запишем частное в виде дроби. Делимое $35a^8b^6$ идет в числитель, а делитель $-49a^6b^8$ — в знаменатель.

$$ \frac{35a^8b^6}{-49a^6b^8} $$

Так как в знаменателе стоит отрицательное число, вся дробь будет отрицательной. Вынесем знак минус перед дробью:

$$ -\frac{35a^8b^6}{49a^6b^8} $$

Сократим числовые коэффициенты 35 и 49. Их наибольший общий делитель равен 7:

$$ \frac{35}{49} = \frac{35 \div 7}{49 \div 7} = \frac{5}{7} $$

Сократим степени переменной $a$:

$$ \frac{a^8}{a^6} = a^{8-6} = a^2 $$

Сократим степени переменной $b$:

$$ \frac{b^6}{b^8} = \frac{1}{b^{8-6}} = \frac{1}{b^2} $$

Теперь соберем все части вместе, не забывая про знак минус:

$$ -\frac{5 \cdot a^2 \cdot 1}{7 \cdot 1 \cdot b^2} = -\frac{5a^2}{7b^2} $$

Ответ: $-\frac{5a^2}{7b^2}$

31. Сократите дробь:

1) $\frac{3x}{21y}$;

2) $\frac{5x^2}{6x}$;

3) $\frac{5c^4}{10c^5}$;

4) $\frac{2m^4}{m^3}$;

5) $\frac{16ab^4}{40ab^2}$;

6) $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$;

7) $\frac{12a^8}{-42a^2}$;

8) $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3x}{21y}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и сократим переменные, если это возможно.
Коэффициенты 3 и 21 имеют НОД равный 3.
Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{21} = \frac{3 \div 3}{21 \div 3} = \frac{1}{7}$.
Переменные $x$ и $y$ различны, поэтому их сократить нельзя.
Таким образом, получаем: $\frac{3x}{21y} = \frac{x}{7y}$.
Ответ: $\frac{x}{7y}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{5x^2}{6x}$.
Коэффициенты 5 и 6 являются взаимно простыми числами (их НОД равен 1), поэтому их сократить нельзя.
Сократим степени переменной $x$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x^1 = x$.
Объединяем результаты: $\frac{5x}{6}$.
Ответ: $\frac{5x}{6}$.

3) Сократим дробь $\frac{5c^4}{10c^5}$.
Сократим числовые коэффициенты 5 и 10. Их НОД равен 5.
$\frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.
Сократим степени переменной $c$:
$\frac{c^4}{c^5} = \frac{1}{c^{5-4}} = \frac{1}{c^1} = \frac{1}{c}$.
Объединяем результаты: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot c} = \frac{1}{2c}$.
Ответ: $\frac{1}{2c}$.

4) Сократим дробь $\frac{2m^4}{m^3}$.
Числовой коэффициент в числителе равен 2, а в знаменателе 1. Они не сокращаются.
Сократим степени переменной $m$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{m^4}{m^3} = m^{4-3} = m^1 = m$.
В результате получаем: $2m$.
Ответ: $2m$.

5) Сократим дробь $\frac{16ab^4}{40ab^2}$.
Найдем НОД для коэффициентов 16 и 40. НОД(16, 40) = 8.
$\frac{16}{40} = \frac{16 \div 8}{40 \div 8} = \frac{2}{5}$.
Сократим переменные:
$\frac{a}{a} = 1$.
$\frac{b^4}{b^2} = b^{4-2} = b^2$.
Объединяем все части: $\frac{2 \cdot 1 \cdot b^2}{5 \cdot 1} = \frac{2b^2}{5}$.
Ответ: $\frac{2b^2}{5}$.

6) Сократим дробь $\frac{63x^5y^4}{42x^4y^5}$.
Найдем НОД для коэффициентов 63 и 42. НОД(63, 42) = 21.
$\frac{63}{42} = \frac{63 \div 21}{42 \div 21} = \frac{3}{2}$.
Сократим степени переменных $x$ и $y$:
$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x$.
$\frac{y^4}{y^5} = \frac{1}{y^{5-4}} = \frac{1}{y}$.
Объединяем результаты: $\frac{3 \cdot x}{2 \cdot y} = \frac{3x}{2y}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y}$.

7) Сократим дробь $\frac{12a^8}{-42a^2}$.
Результат деления будет отрицательным.
Найдем НОД для коэффициентов 12 и 42. НОД(12, 42) = 6.
$\frac{12}{42} = \frac{12 \div 6}{42 \div 6} = \frac{2}{7}$.
Сократим степени переменной $a$:
$\frac{a^8}{a^2} = a^{8-2} = a^6$.
Собираем все вместе, не забывая про знак минус: $-\frac{2a^6}{7}$.
Ответ: $-\frac{2a^6}{7}$.

8) Сократим дробь $\frac{-13a^5b^5}{26a^4b^3}$.
Результат деления будет отрицательным.
Найдем НОД для коэффициентов 13 и 26. НОД(13, 26) = 13.
$\frac{13}{26} = \frac{13 \div 13}{26 \div 13} = \frac{1}{2}$.
Сократим степени переменных $a$ и $b$:
$\frac{a^5}{a^4} = a^{5-4} = a$.
$\frac{b^5}{b^3} = b^{5-3} = b^2$.
Объединяем результаты, учитывая знак: $-\frac{1 \cdot a \cdot b^2}{2} = -\frac{ab^2}{2}$.
Ответ: $-\frac{ab^2}{2}$.