Страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

25. Какое из равенств является тождеством:

1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$;

2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m^2 - 5mn + 25n^2)?$

Чтобы определить, какое из равенств является тождеством, необходимо проверить, выполняется ли оно при всех допустимых значениях переменных. Для этого преобразуем одну из частей каждого равенства и сравним её с другой.

1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=6y$.

$3(x - 6y)^2 = 3(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6y + (6y)^2) = 3(x^2 - 12xy + 36y^2)$

Теперь умножим каждый член в скобках на 3:

$3 \cdot x^2 - 3 \cdot 12xy + 3 \cdot 36y^2 = 3x^2 - 36xy + 108y^2$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством, так как оно верно при любых значениях переменных x и y.

Ответ: данное равенство является тождеством.

2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m^2 - 5mn + 25n^2)$

Преобразуем левую часть равенства, разложив её на множители. Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4m^3 - 500n^6 = 4(m^3 - 125n^6)$

Выражение в скобках представляет собой разность кубов, так как $m^3$ — это куб от m, а $125n^6 = (5n^2)^3$ — это куб от $5n^2$. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$4(m^3 - (5n^2)^3) = 4(m - 5n^2)(m^2 + m \cdot 5n^2 + (5n^2)^2) = 4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4)$

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $4(m - 5n)(m^2 - 5mn + 25n^2)$.

Результат преобразования левой части, $4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4)$, не совпадает с правой частью. Выражения в скобках отличаются. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: данное равенство не является тождеством.

26. Даны два числа: $a = \underbrace{44...4}_{m \text{ цифр}}$, $b = \underbrace{33...3}_{n \text{ цифр}}$. Можно ли подобрать такие $m$ и $n$, чтобы:

1) число $a$ было делителем числа $b$;

2) число $b$ было делителем числа $a$?

Для решения задачи представим числа $a$ и $b$ в виде математических выражений. Число, состоящее из $k$ одинаковых цифр $d$, можно записать как $d \cdot \frac{10^k - 1}{9}$. Таким образом, имеем: $a = 44...4$ ($m$ цифр) $= 4 \cdot \frac{10^m - 1}{9}$ $b = 33...3$ ($n$ цифр) $= 3 \cdot \frac{10^n - 1}{9} = \frac{10^n - 1}{3}$

1) число a было делителем числа b

Рассмотрим числа $a$ и $b$. Число $a = 44...4$ оканчивается на цифру 4, следовательно, оно является чётным числом. Число $b = 33...3$ оканчивается на цифру 3, следовательно, оно является нечётным числом. Чтобы число $a$ было делителем числа $b$, должно существовать такое целое число $k$, что $b = k \cdot a$. Если $a$ — чётное число, то $a = 2j$ для некоторого целого $j$. Тогда $b = k \cdot (2j) = 2 \cdot (kj)$. Это означает, что $b$ должно быть чётным числом. Однако, как мы установили, число $b$ всегда нечётное. Получаем противоречие. Следовательно, чётное число $a$ не может быть делителем нечётного числа $b$ ни при каких натуральных $m$ и $n$.

Ответ: нет, нельзя.

2) число b было делителем числа a

Мы ищем такие натуральные $m$ и $n$, чтобы число $b$ было делителем числа $a$. Это означает, что частное $\frac{a}{b}$ должно быть целым числом. Выразим это частное через $m$ и $n$: $\frac{a}{b} = \frac{4 \cdot \frac{10^m - 1}{9}}{3 \cdot \frac{10^n - 1}{9}} = \frac{4 \cdot (10^m - 1)}{3 \cdot (10^n - 1)}$ Для удобства введем обозначение для чисел, состоящих из единиц (репьюнитов): $R_k = \frac{10^k - 1}{9}$. Тогда $a = 4 R_m$ и $b = 3 R_n$. Частное принимает вид: $\frac{a}{b} = \frac{4 R_m}{3 R_n}$.

Чтобы это выражение было целым числом, знаменатель $3 R_n$ должен делить числитель $4 R_m$. Рассмотрим условия делимости по частям.

1. Делимость на 3. Так как числа 3 и 4 взаимно просты, то $4 R_m$ делится на 3 тогда и только тогда, когда $R_m$ делится на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $R_m$ (состоящего из $m$ единиц) равна $m$. Следовательно, $R_m$ делится на 3 тогда и только тогда, когда $m$ кратно 3. Итак, первое необходимое условие: $m$ должно быть кратно 3.

2. Делимость на $R_n$. Число $R_n$ (состоящее из $n$ единиц) является нечётным, поэтому оно взаимно просто с числом 4. Следовательно, $R_n$ должно делить $R_m$. Существует свойство репьюнитов: $R_n$ делит $R_m$ тогда и только тогда, когда $n$ делит $m$. Итак, второе необходимое условие: $m$ должно быть кратно $n$.

Объединим условия: $m$ должно быть кратно $n$, и $m$ должно быть кратно 3. Пусть $m = k \cdot n$ для некоторого целого $k$. Подставим это в выражение для частного: $\frac{a}{b} = \frac{4 R_{kn}}{3 R_n} = \frac{4}{3} \cdot \frac{R_{kn}}{R_n}$ Известно, что $\frac{R_{kn}}{R_n} = \frac{10^{kn}-1}{10^n-1} = 1 + 10^n + 10^{2n} + \dots + 10^{(k-1)n}$. Обозначим эту сумму как $C$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{4C}{3}$. Чтобы это было целым числом, $C$ должно делиться на 3 (поскольку 4 не делится на 3). Проверим делимость $C$ на 3, рассмотрев его по модулю 3: $10 \equiv 1 \pmod{3}$, поэтому $10^j \equiv 1 \pmod{3}$ для любого целого $j \ge 0$. $C = 1 + 10^n + 10^{2n} + \dots + 10^{(k-1)n} \equiv 1 + 1 + 1 + \dots + 1 \pmod{3}$ (всего $k$ слагаемых). $C \equiv k \pmod{3}$. Таким образом, $C$ делится на 3 тогда и только тогда, когда $k$ кратно 3.

Итак, мы получили окончательное условие: $b$ делит $a$ тогда и только тогда, когда $m$ является кратным $n$ ($m=kn$), и при этом коэффициент $k$ кратен 3. Например, мы можем выбрать $k=3$. Тогда $m=3n$. Это удовлетворяет всем условиям: $m$ кратно $n$, и $k=3$ кратно 3. При этом $m=3n$ также будет кратно 3, что согласуется с нашим первым выводом.

Приведем конкретный пример. Пусть $n=1$, тогда $b=3$. Выберем $m = 3n = 3 \cdot 1 = 3$. Тогда $a = 444$. Проверяем: $\frac{a}{b} = \frac{444}{3} = 148$. Частное является целым числом.

Еще один пример. Пусть $n=2$, тогда $b=33$. Выберем $m = 3n = 3 \cdot 2 = 6$. Тогда $a = 444444$. Проверяем: $\frac{a}{b} = \frac{444444}{33} = \frac{4 \cdot 111111}{3 \cdot 11} = \frac{4 \cdot (10101 \cdot 11)}{3 \cdot 11} = \frac{4 \cdot 10101}{3}$. Сумма цифр числа $10101$ равна $1+0+1+0+1=3$, так что оно делится на 3. $\frac{4 \cdot 10101}{3} = 4 \cdot 3367 = 13468$. Частное также является целым числом. Таким образом, подобрать такие $m$ и $n$ возможно.

Ответ: да, можно. Например, при любых $n \ge 1$ и $m=3n$.