Страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. Известно, что $4a + 8b = 10$. Найдите значение выражения:

1) $2b + a$;

2) $\frac{5}{a + 2b}$;

3) $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{2a + 4b}$.

1)

Для нахождения значения выражения $2b + a$ воспользуемся данным уравнением $4a + 8b = 10$.

Упростим исходное уравнение. Заметим, что левую часть можно преобразовать, вынеся общий множитель за скобки. Общий множитель для $4a$ и $8b$ равен 4.

$4(a + 2b) = 10$

Теперь, чтобы найти значение выражения $a + 2b$, разделим обе части уравнения на 4:

$a + 2b = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

Выражение $2b + a$ равно выражению $a + 2b$ в силу переместительного закона сложения.

Таким образом, значение искомого выражения равно 2.5.

Ответ: $2.5$

2)

Необходимо найти значение выражения $\frac{5}{a + 2b}$.

Из решения первого пункта мы уже определили, что $a + 2b = 2.5$. Для полноты решения повторим вычисление.

Из уравнения $4a + 8b = 10$ следует:

$4(a + 2b) = 10$

$a + 2b = \frac{10}{4} = 2.5$

Подставим найденное значение $2.5$ в знаменатель дроби:

$\frac{5}{a + 2b} = \frac{5}{2.5} = 2$

Ответ: $2$

3)

Найдем значение выражения $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{2a + 4b}$.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель дроби.

Числитель $a^2 + 4ab + 4b^2$ является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a + 2b)^2$.

В знаменателе $2a + 4b$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a + 2b)$.

Таким образом, исходная дробь принимает вид:

$\frac{(a + 2b)^2}{2(a + 2b)}$

Поскольку из условия $4a+8b=10$ следует, что $a+2b=2.5 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $(a+2b)$:

$\frac{a + 2b}{2}$

Теперь подставим значение $a + 2b = 2.5$ в полученное выражение:

$\frac{2.5}{2} = 1.25$

Ответ: $1.25$

15. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$;

2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$.

1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Кроме того, в знаменателе основной дроби есть еще одна дробь $\frac{4}{x}$, знаменатель которой также не может быть равен нулю.

Таким образом, мы имеем два условия:

1. Знаменатель внутренней дроби не равен нулю: $x \neq 0$.

2. Знаменатель основной дроби не равен нулю:

$4 - \frac{4}{x} \neq 0$

Решим это неравенство:

$4 \neq \frac{4}{x}$

Умножим обе части на $x$, так как мы уже установили, что $x \neq 0$:

$4x \neq 4$

$x \neq 1$

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ не может быть равен 0 и 1. Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме 0 и 1.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$

2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$

Аналогично первому случаю, данная функция имеет два знаменателя, которые не могут быть равны нулю.

1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{1}{x}$ не равен нулю:

$x \neq 0$

2. Знаменатель основной дроби не равен нулю:

$x - \frac{1}{x} \neq 0$

Решим это неравенство:

$x \neq \frac{1}{x}$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 \neq 1$

Это означает, что $x$ не может быть равен 1 и -1, так как $1^2 = 1$ и $(-1)^2 = 1$.

$x \neq 1$ и $x \neq -1$

Объединяя все условия, получаем, что $x$ не может быть равен 0, 1 и -1. Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме -1, 0 и 1.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$

16. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $ \frac{x}{x - \frac{9}{x}} $;

2) $ \frac{10}{2 + \frac{6}{x}} $?

1) Алгебраическое выражение имеет смысл, если все его знаменатели не равны нулю. В выражении $\frac{x}{x - \frac{9}{x}}$ есть два знаменателя, которые могут обратиться в ноль.

Во-первых, знаменатель внутренней дроби $\frac{9}{x}$ не должен быть равен нулю. Это накладывает первое ограничение:

$x \neq 0$

Во-вторых, знаменатель основной дроби $x - \frac{9}{x}$ также не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых он равен нулю, и исключим их.

$x - \frac{9}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (мы уже учли, что $x \neq 0$):

$x \cdot x - \frac{9}{x} \cdot x = 0 \cdot x$

$x^2 - 9 = 0$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x-3)(x+3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения, которые необходимо исключить:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Следовательно, чтобы выражение имело смысл, переменная $x$ не должна принимать значения 0, 3 и -3.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=0$, $x=3$ и $x=-3$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{10}{2 + \frac{6}{x}}$. Оно имеет смысл, когда все его знаменатели отличны от нуля.

Во-первых, знаменатель внутренней дроби $\frac{6}{x}$ не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

Во-вторых, знаменатель основной дроби $2 + \frac{6}{x}$ не должен быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором он обращается в ноль.

$2 + \frac{6}{x} = 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{6}{x} = -2$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$6 = -2x$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{6}{-2} = -3$

Таким образом, переменная $x$ не должна принимать значения 0 и -3.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=0$ и $x=-3$.

17. Сократите дробь:

1) $ \frac{5}{15} $;

2) $ \frac{12}{18} $;

3) $ \frac{27}{45} $;

4) $ \frac{30}{48} $.

1) Чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Для дроби $ \frac{5}{15} $ числитель равен 5, а знаменатель - 15. Наибольший общий делитель для 5 и 15 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{5}{15} = \frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $

2) Для дроби $ \frac{12}{18} $ найдем наибольший общий делитель для числителя 12 и знаменателя 18. Разложим числа на простые множители:
$ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 $
$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 $
НОД(12, 18) = $ 2 \cdot 3 = 6 $.
Теперь разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

3) Для дроби $ \frac{27}{45} $ найдем НОД для числителя 27 и знаменателя 45. Разложим на простые множители:
$ 27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 $
$ 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 $
НОД(27, 45) = $ 3 \cdot 3 = 9 $.
Разделим числитель и знаменатель на 9:
$ \frac{27}{45} = \frac{27 \div 9}{45 \div 9} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $

4) Для дроби $ \frac{30}{48} $ найдем НОД для числителя 30 и знаменателя 48. Разложим на простые множители:
$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $
$ 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $
НОД(30, 48) = $ 2 \cdot 3 = 6 $.
Разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{30}{48} = \frac{30 \div 6}{48 \div 6} = \frac{5}{8} $.
Ответ: $ \frac{5}{8} $

18. Приведите дробь:

1) $\frac{3}{7}$ к знаменателю 14;

2) $\frac{8}{15}$ к знаменателю 60.

1) Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель (14) на исходный (7):

$14 \div 7 = 2$

Дополнительный множитель равен 2. Теперь, чтобы значение дроби не изменилось, умножим и числитель, и знаменатель исходной дроби $\frac{3}{7}$ на этот множитель:

$\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

Ответ: $\frac{6}{14}$

2) Аналогично приведем дробь $\frac{8}{15}$ к знаменателю 60. Сначала найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$60 \div 15 = 4$

Дополнительный множитель равен 4. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{8}{15}$ на 4:

$\frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}$

Ответ: $\frac{32}{60}$

19. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $a^5 a^3$;

2) $(a^5)^3$;

3) $a^5 : a^3$;

4) $(a^8)^4 : (a^2)^8$.

1) $a^5a^3$
Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это соответствует свойству степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяя это правило, получаем:
$a^5 \cdot a^3 = a^{5+3} = a^8$
Ответ: $a^8$

2) $(a^5)^3$
Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить. Это соответствует свойству степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применяя это правило, получаем:
$(a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15}$
Ответ: $a^{15}$

3) $a^5 : a^3$
Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это соответствует свойству степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).
Применяя это правило, получаем:
$a^5 : a^3 = a^{5-3} = a^2$
Ответ: $a^2$

4) $(a^8)^4 : (a^2)^8$
Для решения этого примера необходимо последовательно применить два свойства степеней.
Сначала упростим делимое и делитель, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Делимое: $(a^8)^4 = a^{8 \cdot 4} = a^{32}$.
Делитель: $(a^2)^8 = a^{2 \cdot 8} = a^{16}$.
Теперь выражение выглядит так: $a^{32} : a^{16}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^{32} : a^{16} = a^{32-16} = a^{16}$.
Ответ: $a^{16}$

20. Разложите на множители:

1) $6a - 15b$;

2) $2a + ab$;

3) $7am + 7bn$;

4) $4x^2 - 12xy$;

5) $a^6 + a^2$;

6) $12m^2n - 4mn$;

7) $2x^2 - 4x^3 + 10x^4$;

8) $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $6a - 15b$, необходимо найти общий множитель для каждого одночлена и вынести его за скобки.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 6 и 15.
$6 = 2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
НОД(6, 15) = 3.
Общих переменных у одночленов нет.
Выносим общий множитель 3 за скобки:
$6a - 15b = 3 \cdot 2a - 3 \cdot 5b = 3(2a - 5b)$.

Ответ: $3(2a - 5b)$.

2) В выражении $2a + ab$ найдем общий множитель.
Числовые коэффициенты 2 и 1 не имеют общего делителя, кроме 1.
Оба члена содержат переменную $a$. Это и есть общий множитель.
Вынесем $a$ за скобки:
$2a + ab = a \cdot 2 + a \cdot b = a(2 + b)$.

Ответ: $a(2 + b)$.

3) В выражении $7am + 7bn$ найдем общий множитель.
Общий числовой коэффициент для обоих членов - это 7.
Общих переменных у одночленов нет ($a, m$ и $b, n$).
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7am + 7bn = 7(am + bn)$.

Ответ: $7(am + bn)$.

4) Разложим на множители выражение $4x^2 - 12xy$.
Найдем НОД для коэффициентов 4 и 12. НОД(4, 12) = 4.
Найдем общую переменную часть. Первый член содержит $x^2$, второй - $xy$. Общей переменной является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто $x$.
Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки - это $4x$.
$4x^2 - 12xy = 4x \cdot x - 4x \cdot 3y = 4x(x - 3y)$.

Ответ: $4x(x - 3y)$.

5) В выражении $a^6 + a^2$ найдем общий множитель.
Числовые коэффициенты равны 1.
Общий множитель для переменных $a^6$ и $a^2$ - это переменная в наименьшей степени, то есть $a^2$.
Вынесем $a^2$ за скобки. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^6 / a^2 = a^{6-2} = a^4$.
$a^6 + a^2 = a^2 \cdot a^4 + a^2 \cdot 1 = a^2(a^4 + 1)$.

Ответ: $a^2(a^4 + 1)$.

6) Разложим на множители выражение $12m^2n - 4mn$.
Найдем НОД для коэффициентов 12 и 4. НОД(12, 4) = 4.
Найдем общую переменную часть. Для $m^2$ и $m$ общей является $m$. Для $n$ и $n$ общей является $n$. Значит, общая переменная часть - $mn$.
Общий множитель для вынесения за скобки - это $4mn$.
$12m^2n - 4mn = 4mn \cdot 3m - 4mn \cdot 1 = 4mn(3m - 1)$.

Ответ: $4mn(3m - 1)$.

7) Разложим на множители выражение $2x^2 - 4x^3 + 10x^4$.
Найдем НОД для коэффициентов 2, 4 и 10. НОД(2, 4, 10) = 2.
Найдем общую переменную часть. Для $x^2$, $x^3$ и $x^4$ общей является переменная в наименьшей степени, то есть $x^2$.
Общий множитель для вынесения за скобки - это $2x^2$.
$2x^2 - 4x^3 + 10x^4 = 2x^2 \cdot 1 - 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot 5x^2 = 2x^2(1 - 2x + 5x^2)$.

Ответ: $2x^2(1 - 2x + 5x^2)$.

8) Разложим на множители выражение $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2$.
Найдем НОД для коэффициентов 10, 15 и 25. НОД(10, 15, 25) = 5.
Найдем общую переменную часть. Для переменной $a$ (в степенях 3, 2, 1) общим множителем является $a$. Для переменной $b$ (в степенях 2, 1, 2) общим множителем является $b$. Значит, общая переменная часть - $ab$.
Общий множитель для вынесения за скобки - это $5ab$.
$10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2 = 5ab \cdot 2a^2b - 5ab \cdot 3a + 5ab \cdot 5b = 5ab(2a^2b - 3a + 5b)$.

Ответ: $5ab(2a^2b - 3a + 5b)$.

21. Представьте в виде произведения выражения:

1) $ab - ac + bd - cd;$

2) $3m + 3n - mx - nx;$

3) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2;$

4) $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b.$

1) Для разложения выражения $ab - ac + bd - cd$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(ab - ac) + (bd - cd)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй группе — общий множитель $d$:

$a(b - c) + d(b - c)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(b - c)$. Вынесем его за скобки:

$(a + d)(b - c)$

Ответ: $(a + d)(b - c)$

2) Разложим на множители выражение $3m + 3n - mx - nx$ методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(3m + 3n) + (-mx - nx)$

Из первой группы вынесем общий множитель $3$. Из второй группы вынесем общий множитель $-x$:

$3(m + n) - x(m + n)$

Теперь общим множителем является выражение $(m + n)$. Вынесем его за скобки:

$(3 - x)(m + n)$

Ответ: $(3 - x)(m + n)$

3) Представим в виде произведения выражение $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2$. Применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(a^5 + a^3) + (2a^2 + 2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^3$. Во второй группе вынесем за скобки $2$:

$a^3(a^2 + 1) + 2(a^2 + 1)$

Полученные слагаемые имеют общий множитель $(a^2 + 1)$, который мы вынесем за скобки:

$(a^3 + 2)(a^2 + 1)$

Ответ: $(a^3 + 2)(a^2 + 1)$

4) Разложим на множители выражение $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b$. Используем метод группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(8a^2b - 2a^2) + (-4b^2 + b)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $2a^2$. Из второй скобки вынесем общий множитель $-b$, чтобы получить такое же выражение в скобках, как и в первом слагаемом:

$2a^2(4b - 1) - b(4b - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(4b - 1)$:

$(2a^2 - b)(4b - 1)$

Ответ: $(2a^2 - b)(4b - 1)$

22. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 - 8a + 16;$

2) $9x^2 + 6x + 1;$

3) $40xy + 16x^2 + 25y^2;$

4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2.$

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) $a^2 - 8a + 16$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата разности.
Первый член выражения, $a^2$, является квадратом $a$.
Третий член, $16$, является квадратом $4$ ($4^2 = 16$).
Средний член, $-8a$, является удвоенным произведением первого и второго членов со знаком минус: $-2 \cdot a \cdot 4 = -8a$.
Таким образом, мы можем представить трехчлен в виде квадрата разности $a$ и $4$.
$a^2 - 8a + 16 = (a)^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + (4)^2 = (a - 4)^2$.
Ответ: $(a - 4)^2$

2) $9x^2 + 6x + 1$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.
Первый член, $9x^2$, является квадратом $3x$ ($(3x)^2 = 9x^2$).
Третий член, $1$, является квадратом $1$ ($1^2 = 1$).
Средний член, $6x$, является удвоенным произведением первого и второго членов: $2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$.
Следовательно, выражение можно записать как квадрат суммы $3x$ и $1$.
$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + (1)^2 = (3x + 1)^2$.
Ответ: $(3x + 1)^2$

3) $40xy + 16x^2 + 25y^2$

Для удобства переставим члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы: $16x^2 + 40xy + 25y^2$.
Это выражение соответствует формуле квадрата суммы.
Первый член, $16x^2$, является квадратом $4x$ ($(4x)^2 = 16x^2$).
Третий член, $25y^2$, является квадратом $5y$ ($(5y)^2 = 25y^2$).
Средний член, $40xy$, является удвоенным произведением $4x$ и $5y$: $2 \cdot (4x) \cdot (5y) = 40xy$.
Значит, данный трехчлен является квадратом суммы $4x$ и $5y$.
$16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (5y) + (5y)^2 = (4x + 5y)^2$.
Ответ: $(4x + 5y)^2$

4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2$

Это выражение соответствует формуле квадрата разности.
Первый член, $a^8$, является квадратом $a^4$ ($(a^4)^2 = a^8$).
Третий член, $4b^2$, является квадратом $2b$ ($(2b)^2 = 4b^2$).
Средний член, $-4a^4b$, является удвоенным произведением $a^4$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot a^4 \cdot (2b) = -4a^4b$.
Таким образом, этот трехчлен можно представить как квадрат разности $a^4$ и $2b$.
$a^8 - 4a^4b + 4b^2 = (a^4)^2 - 2 \cdot a^4 \cdot (2b) + (2b)^2 = (a^4 - 2b)^2$.
Ответ: $(a^4 - 2b)^2$

23. Разложите на множители:

1) $x^2 - 9;$

2) $25 - 4y^2;$

3) $36m^2 - 49n^2;$

4) $a^2b^2 - 81;$

5) $100m^6 - 1;$

6) $a^{10} - b^6;$

7) $c^3 - d^3;$

8) $a^3 + 8;$

9) $27m^6 - n^9.$

1) Для разложения выражения $x^2 - 9$ на множители используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов двух чисел: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$.

Применим формулу: $x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 3)$.

2) Для разложения выражения $25 - 4y^2$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $25 - 4y^2 = 5^2 - (2y)^2$.

Применим формулу: $5^2 - (2y)^2 = (5 - 2y)(5 + 2y)$.

Ответ: $(5 - 2y)(5 + 2y)$.

3) Для разложения выражения $36m^2 - 49n^2$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $36m^2 - 49n^2 = (6m)^2 - (7n)^2$.

Применим формулу: $(6m)^2 - (7n)^2 = (6m - 7n)(6m + 7n)$.

Ответ: $(6m - 7n)(6m + 7n)$.

4) Для разложения выражения $a^2b^2 - 81$ на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $a^2b^2 - 81 = (ab)^2 - 9^2$.

Применим формулу: $(ab)^2 - 9^2 = (ab - 9)(ab + 9)$.

Ответ: $(ab - 9)(ab + 9)$.

5) Для разложения выражения $100m^6 - 1$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $100m^6 - 1 = (10m^3)^2 - 1^2$.

Применим формулу: $(10m^3)^2 - 1^2 = (10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$.

Ответ: $(10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$.

6) Для разложения выражения $a^{10} - b^6$ на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $a^{10} - b^6 = (a^5)^2 - (b^3)^2$.

Применим формулу: $(a^5)^2 - (b^3)^2 = (a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$.

Ответ: $(a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$.

7) Для разложения выражения $c^3 - d^3$ на множители используется формула сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае переменные в формуле соответствуют переменным в выражении. Применяя формулу, получаем:

$c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$.

Ответ: $(c - d)(c^2 + cd + d^2)$.

8) Для разложения выражения $a^3 + 8$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов: $a^3 + 8 = a^3 + 2^3$.

Применим формулу: $a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

9) Для разложения выражения $27m^6 - n^9$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим выражение в виде разности кубов: $27m^6 - n^9 = (3m^2)^3 - (n^3)^3$.

Применим формулу, где $a = 3m^2$ и $b = n^3$:

$(3m^2 - n^3)((3m^2)^2 + (3m^2)(n^3) + (n^3)^2) = (3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$.

Ответ: $(3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$.

24. Разложите на множители:

1) $7a^2 - 7$;

2) $3b^3 - 3b$;

3) $2x^3 - 2xy^2$;

4) $-8a^5 + 8a^3 - 2a$;

5) $x - 4y + x^2 - 16y^2$;

6) $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4$.

1) Для выражения $7a^2 - 7$, первым шагом вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7a^2 - 7 = 7(a^2 - 1)$
Выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a$ и $y=1$.
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
Таким образом, итоговое разложение на множители:
$7(a - 1)(a + 1)$
Ответ: $7(a - 1)(a + 1)$

2) В выражении $3b^3 - 3b$ вынесем за скобки общий множитель $3b$:
$3b^3 - 3b = 3b(b^2 - 1)$
Выражение в скобках $b^2 - 1$ также является разностью квадратов. Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:
$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$
Итоговое разложение:
$3b(b - 1)(b + 1)$
Ответ: $3b(b - 1)(b + 1)$

3) В выражении $2x^3 - 2xy^2$ вынесем за скобки общий множитель $2x$:
$2x^3 - 2xy^2 = 2x(x^2 - y^2)$
Выражение $x^2 - y^2$ в скобках является формулой разности квадратов:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Следовательно, получаем:
$2x(x - y)(x + y)$
Ответ: $2x(x - y)(x + y)$

4) Рассмотрим выражение $-8a^5 + 8a^3 - 2a$. Вынесем за скобки общий множитель $-2a$ для удобства дальнейших преобразований:
$-8a^5 + 8a^3 - 2a = -2a(4a^4 - 4a^2 + 1)$
Выражение в скобках $4a^4 - 4a^2 + 1$ является полным квадратом разности. Это можно увидеть, представив его в виде $(2a^2)^2 - 2 \cdot (2a^2) \cdot 1 + 1^2$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 2a^2$ и $y = 1$.
$4a^4 - 4a^2 + 1 = (2a^2 - 1)^2$
Итоговое разложение:
$-2a(2a^2 - 1)^2$
Ответ: $-2a(2a^2 - 1)^2$

5) Рассмотрим выражение $x - 4y + x^2 - 16y^2$. Применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(x - 4y) + (x^2 - 16y^2)$
Вторая группа $x^2 - 16y^2$ является разностью квадратов, так как $16y^2 = (4y)^2$. Разложим ее по формуле:
$x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
Теперь наше выражение выглядит так:
$(x - 4y) + (x - 4y)(x + 4y)$
Вынесем общий множитель $(x - 4y)$ за скобки:
$(x - 4y)(1 + (x + 4y))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 4y)(x + 4y + 1)$
Ответ: $(x - 4y)(x + 4y + 1)$

6) Для выражения $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4$ используем метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:
$(ab^6 - ab^4) + (-b^6 + b^4)$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $ab^4$, а из второй $-b^4$:
$ab^4(b^2 - 1) - b^4(b^2 - 1)$
Теперь у нас есть общий множитель $(b^2 - 1)$, который мы выносим за скобки:
$(b^2 - 1)(ab^4 - b^4)$
Заметим, что оба множителя можно разложить дальше. Первый множитель $b^2 - 1$ — это разность квадратов: $(b - 1)(b + 1)$. Во втором множителе $ab^4 - b^4$ можно вынести общий множитель $b^4$: $b^4(a - 1)$.
Собираем все вместе:
$b^4(a - 1)(b - 1)(b + 1)$
Ответ: $b^4(a - 1)(b - 1)(b + 1)$