Номер 24, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 24, страница 9.

Условие.

24. Разложите на множители:

1) $7a^2 - 7$;

2) $3b^3 - 3b$;

3) $2x^3 - 2xy^2$;

4) $-8a^5 + 8a^3 - 2a$;

5) $x - 4y + x^2 - 16y^2$;

6) $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для выражения $7a^2 - 7$, первым шагом вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7a^2 - 7 = 7(a^2 - 1)$
Выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a$ и $y=1$.
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
Таким образом, итоговое разложение на множители:
$7(a - 1)(a + 1)$
Ответ: $7(a - 1)(a + 1)$

2) В выражении $3b^3 - 3b$ вынесем за скобки общий множитель $3b$:
$3b^3 - 3b = 3b(b^2 - 1)$
Выражение в скобках $b^2 - 1$ также является разностью квадратов. Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:
$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$
Итоговое разложение:
$3b(b - 1)(b + 1)$
Ответ: $3b(b - 1)(b + 1)$

3) В выражении $2x^3 - 2xy^2$ вынесем за скобки общий множитель $2x$:
$2x^3 - 2xy^2 = 2x(x^2 - y^2)$
Выражение $x^2 - y^2$ в скобках является формулой разности квадратов:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Следовательно, получаем:
$2x(x - y)(x + y)$
Ответ: $2x(x - y)(x + y)$

4) Рассмотрим выражение $-8a^5 + 8a^3 - 2a$. Вынесем за скобки общий множитель $-2a$ для удобства дальнейших преобразований:
$-8a^5 + 8a^3 - 2a = -2a(4a^4 - 4a^2 + 1)$
Выражение в скобках $4a^4 - 4a^2 + 1$ является полным квадратом разности. Это можно увидеть, представив его в виде $(2a^2)^2 - 2 \cdot (2a^2) \cdot 1 + 1^2$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 2a^2$ и $y = 1$.
$4a^4 - 4a^2 + 1 = (2a^2 - 1)^2$
Итоговое разложение:
$-2a(2a^2 - 1)^2$
Ответ: $-2a(2a^2 - 1)^2$

5) Рассмотрим выражение $x - 4y + x^2 - 16y^2$. Применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(x - 4y) + (x^2 - 16y^2)$
Вторая группа $x^2 - 16y^2$ является разностью квадратов, так как $16y^2 = (4y)^2$. Разложим ее по формуле:
$x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
Теперь наше выражение выглядит так:
$(x - 4y) + (x - 4y)(x + 4y)$
Вынесем общий множитель $(x - 4y)$ за скобки:
$(x - 4y)(1 + (x + 4y))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 4y)(x + 4y + 1)$
Ответ: $(x - 4y)(x + 4y + 1)$

6) Для выражения $ab^6 - ab^4 - b^6 + b^4$ используем метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:
$(ab^6 - ab^4) + (-b^6 + b^4)$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $ab^4$, а из второй $-b^4$:
$ab^4(b^2 - 1) - b^4(b^2 - 1)$
Теперь у нас есть общий множитель $(b^2 - 1)$, который мы выносим за скобки:
$(b^2 - 1)(ab^4 - b^4)$
Заметим, что оба множителя можно разложить дальше. Первый множитель $b^2 - 1$ — это разность квадратов: $(b - 1)(b + 1)$. Во втором множителе $ab^4 - b^4$ можно вынести общий множитель $b^4$: $b^4(a - 1)$.
Собираем все вместе:
$b^4(a - 1)(b - 1)(b + 1)$
Ответ: $b^4(a - 1)(b - 1)(b + 1)$