Номер 20, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 20, страница 9.

Условие.

20. Разложите на множители:

1) $6a - 15b$;

2) $2a + ab$;

3) $7am + 7bn$;

4) $4x^2 - 12xy$;

5) $a^6 + a^2$;

6) $12m^2n - 4mn$;

7) $2x^2 - 4x^3 + 10x^4$;

8) $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы разложить на множители выражение $6a - 15b$, необходимо найти общий множитель для каждого одночлена и вынести его за скобки.
Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 6 и 15.
$6 = 2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
НОД(6, 15) = 3.
Общих переменных у одночленов нет.
Выносим общий множитель 3 за скобки:
$6a - 15b = 3 \cdot 2a - 3 \cdot 5b = 3(2a - 5b)$.

Ответ: $3(2a - 5b)$.

2) В выражении $2a + ab$ найдем общий множитель.
Числовые коэффициенты 2 и 1 не имеют общего делителя, кроме 1.
Оба члена содержат переменную $a$. Это и есть общий множитель.
Вынесем $a$ за скобки:
$2a + ab = a \cdot 2 + a \cdot b = a(2 + b)$.

Ответ: $a(2 + b)$.

3) В выражении $7am + 7bn$ найдем общий множитель.
Общий числовой коэффициент для обоих членов - это 7.
Общих переменных у одночленов нет ($a, m$ и $b, n$).
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7am + 7bn = 7(am + bn)$.

Ответ: $7(am + bn)$.

4) Разложим на множители выражение $4x^2 - 12xy$.
Найдем НОД для коэффициентов 4 и 12. НОД(4, 12) = 4.
Найдем общую переменную часть. Первый член содержит $x^2$, второй - $xy$. Общей переменной является $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто $x$.
Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки - это $4x$.
$4x^2 - 12xy = 4x \cdot x - 4x \cdot 3y = 4x(x - 3y)$.

Ответ: $4x(x - 3y)$.

5) В выражении $a^6 + a^2$ найдем общий множитель.
Числовые коэффициенты равны 1.
Общий множитель для переменных $a^6$ и $a^2$ - это переменная в наименьшей степени, то есть $a^2$.
Вынесем $a^2$ за скобки. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^6 / a^2 = a^{6-2} = a^4$.
$a^6 + a^2 = a^2 \cdot a^4 + a^2 \cdot 1 = a^2(a^4 + 1)$.

Ответ: $a^2(a^4 + 1)$.

6) Разложим на множители выражение $12m^2n - 4mn$.
Найдем НОД для коэффициентов 12 и 4. НОД(12, 4) = 4.
Найдем общую переменную часть. Для $m^2$ и $m$ общей является $m$. Для $n$ и $n$ общей является $n$. Значит, общая переменная часть - $mn$.
Общий множитель для вынесения за скобки - это $4mn$.
$12m^2n - 4mn = 4mn \cdot 3m - 4mn \cdot 1 = 4mn(3m - 1)$.

Ответ: $4mn(3m - 1)$.

7) Разложим на множители выражение $2x^2 - 4x^3 + 10x^4$.
Найдем НОД для коэффициентов 2, 4 и 10. НОД(2, 4, 10) = 2.
Найдем общую переменную часть. Для $x^2$, $x^3$ и $x^4$ общей является переменная в наименьшей степени, то есть $x^2$.
Общий множитель для вынесения за скобки - это $2x^2$.
$2x^2 - 4x^3 + 10x^4 = 2x^2 \cdot 1 - 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot 5x^2 = 2x^2(1 - 2x + 5x^2)$.

Ответ: $2x^2(1 - 2x + 5x^2)$.

8) Разложим на множители выражение $10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2$.
Найдем НОД для коэффициентов 10, 15 и 25. НОД(10, 15, 25) = 5.
Найдем общую переменную часть. Для переменной $a$ (в степенях 3, 2, 1) общим множителем является $a$. Для переменной $b$ (в степенях 2, 1, 2) общим множителем является $b$. Значит, общая переменная часть - $ab$.
Общий множитель для вынесения за скобки - это $5ab$.
$10a^3b^2 - 15a^2b + 25ab^2 = 5ab \cdot 2a^2b - 5ab \cdot 3a + 5ab \cdot 5b = 5ab(2a^2b - 3a + 5b)$.

Ответ: $5ab(2a^2b - 3a + 5b)$.