Номер 13, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 13, страница 8.

Условие.

13. Известно, что $5x - 15y = 1$. Найдите значение выражения:

1) $x - 3y;$

2) $\frac{8}{2x - 6y};$

3) $\frac{18y - 6x}{9};$

4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для решения всех пунктов задачи сначала преобразуем данное в условии уравнение $5x - 15y = 1$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части:

$5(x - 3y) = 1$

Разделив обе части уравнения на 5, мы найдем значение выражения $x - 3y$, которое понадобится нам для решения всех подпунктов:

$x - 3y = \frac{1}{5}$

Теперь решим каждый пункт по отдельности.

1) $x - 3y$

Как было найдено выше из исходного уравнения:

$x - 3y = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) $\frac{8}{2x - 6y}$

Преобразуем знаменатель дроби, вынеся за скобки общий множитель 2:

$2x - 6y = 2(x - 3y)$

Мы знаем, что $x - 3y = \frac{1}{5}$, подставим это значение в знаменатель:

$2(x - 3y) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь вычислим значение всего выражения:

$\frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \div \frac{2}{5} = 8 \cdot \frac{5}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Ответ: 20

3) $\frac{18y - 6x}{9}$

Преобразуем числитель дроби. Для этого вынесем за скобки общий множитель -6, чтобы получить в скобках известное нам выражение:

$18y - 6x = -6(x - 3y)$

Подставим значение $x - 3y = \frac{1}{5}$ в числитель:

$-6(x - 3y) = -6 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$

Теперь вычислим значение всего выражения:

$\frac{-\frac{6}{5}}{9} = -\frac{6}{5 \cdot 9} = -\frac{6}{45}$

Сократим полученную дробь на 3:

$-\frac{6 \div 3}{45 \div 3} = -\frac{2}{15}$

Ответ: $-\frac{2}{15}$

4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}$

Знаменатель дроби $x^2 - 6xy + 9y^2$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=3y$, поэтому:

$x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$

Подставим известное значение $x - 3y = \frac{1}{5}$ в знаменатель:

$(x - 3y)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$

Теперь вычислим значение всего выражения:

$\frac{1}{\frac{1}{25}} = 1 \div \frac{1}{25} = 1 \cdot \frac{25}{1} = 25$

Ответ: 25