Номер 11, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 11, страница 8.

Условие.

11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение дроби:

1) $\frac{1}{x^2}$ положительное;

2) $\frac{x^2+1}{6x-9-x^2}$ отрицательное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Необходимо доказать, что значение дроби $\frac{1}{x^2}$ положительное при всех допустимых значениях переменной $x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Дробь имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x^2$. $x^2 \ne 0$ Это неравенство выполняется для всех значений $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Теперь проанализируем знак дроби при всех допустимых значениях $x$.
Числитель дроби равен 1. Это положительное число ($1 > 0$).
Знаменатель дроби равен $x^2$. Для любого действительного числа $x$, не равного нулю, его квадрат $x^2$ всегда будет положительным числом. Например, если $x = 2$, то $x^2 = 4 > 0$; если $x = -2$, то $x^2 = 4 > 0$. Итак, при $x \ne 0$ имеем $x^2 > 0$.
Дробь является частным от деления положительного числа (числитель) на положительное число (знаменатель). Результат такого деления всегда положителен. Следовательно, при всех допустимых значениях $x$ значение дроби $\frac{1}{x^2}$ является положительным.
Ответ: Доказано.

2) Необходимо доказать, что значение дроби $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ отрицательное при всех допустимых значениях переменной $x$.
Определим ОДЗ. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $6x - 9 - x^2 \ne 0$.
Проанализируем знак числителя и знаменателя.
Числитель: $x^2 + 1$. Для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что числитель всегда является строго положительным числом.
Знаменатель: $6x - 9 - x^2$. Преобразуем это выражение. Вынесем минус за скобки и поменяем порядок слагаемых: $6x - 9 - x^2 = -(x^2 - 6x + 9)$.
Выражение в скобках, $x^2 - 6x + 9$, является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3$: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $-(x-3)^2$.
Теперь вернемся к ОДЗ. Условие $6x - 9 - x^2 \ne 0$ эквивалентно $-(x-3)^2 \ne 0$. Это верно для всех $x$, кроме тех, для которых $(x-3)^2 = 0$, то есть $x-3=0$, что дает $x=3$. Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
При всех допустимых значениях $x$ (т.е. $x \ne 3$), выражение $(x-3)^2$ является квадратом ненулевого числа, а значит, оно всегда строго положительно: $(x-3)^2 > 0$. Тогда знаменатель $-(x-3)^2$ будет всегда строго отрицательным.
В итоге мы имеем дробь, у которой числитель ($x^2 + 1$) всегда положителен, а знаменатель ($6x - 9 - x^2$) при всех допустимых значениях $x$ всегда отрицателен. Частное от деления положительного числа на отрицательное всегда отрицательно. Следовательно, при всех допустимых значениях $x$ значение дроби $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ является отрицательным.
Ответ: Доказано.