Номер 8, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 8, страница 8.

Условие.

8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $y$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 5;

2) все числа, кроме -2 и 0;

3) все числа, кроме 3, -3 и 6;

4) все числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(y)}{Q(y)}$, где $P(y)$ и $Q(y)$ — многочлены. Область допустимых значений (ОДЗ) рациональной дроби — это все значения переменной, при которых знаменатель $Q(y)$ не равен нулю. Таким образом, чтобы исключить некоторые значения из ОДЗ, нужно составить такой знаменатель, который обращается в ноль именно при этих значениях.

1) все числа, кроме 5;

Чтобы из области допустимых значений исключить только число 5, знаменатель дроби должен быть равен нулю при $y = 5$. Самый простой многочлен, который имеет корень $y=5$, — это $y-5$. В качестве числителя можно выбрать любое число, не равное нулю (например, 1) или любой многочлен. Таким образом, один из возможных вариантов дроби:

$\frac{1}{y-5}$

Действительно, знаменатель $y-5=0$ только при $y=5$.

Ответ: $\frac{1}{y-5}$

2) все числа, кроме –2 и 0;

В этом случае знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $y = -2$ и $y = 0$. Это означает, что многочлен в знаменателе должен иметь корни -2 и 0. Такой многочлен можно составить, перемножив соответствующие множители: $(y - (-2))$ и $(y - 0)$.

Знаменатель: $y(y+2) = y^2+2y$.

Выбрав в качестве числителя 1, получаем дробь:

$\frac{1}{y(y+2)}$

Знаменатель $y(y+2)$ равен нулю при $y=0$ или $y=-2$.

Ответ: $\frac{1}{y(y+2)}$

3) все числа, кроме 3, –3 и 6;

Здесь знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $y = 3$, $y = -3$ и $y = 6$. Составляем знаменатель как произведение множителей, соответствующих этим корням: $(y-3)$, $(y-(-3))$, $(y-6)$.

Знаменатель: $(y-3)(y+3)(y-6)$.

Снова выберем числитель, равный 1. Получаем дробь:

$\frac{1}{(y-3)(y+3)(y-6)}$

Знаменатель равен нулю, если один из множителей равен нулю, то есть при $y=3$, $y=-3$ или $y=6$.

Ответ: $\frac{1}{(y-3)(y+3)(y-6)}$

4) все числа.

Если допустимыми значениями являются все числа, это означает, что знаменатель дроби никогда не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $y$. Нужно подобрать многочлен, который не имеет действительных корней. Простейший пример такого многочлена — $y^2+a$, где $a$ — любое положительное число. Возьмем, например, $a=1$.

Знаменатель: $y^2+1$.

Выражение $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), поэтому $y^2+1$ всегда больше или равно 1 и никогда не равно нулю. Взяв в числителе 1, получаем дробь:

$\frac{1}{y^2+1}$

Другим простым примером может служить дробь, знаменатель которой — ненулевая константа, например, $\frac{y}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{y^2+1}$