Номер 7, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 7, страница 8.

Условие.

7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную $x$ и имеет смысл при всех значениях $x$, кроме:

1) $x = 7$;

2) $x = -1$;

3) $x = 0$ и $x = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Такая дробь имеет смысл (определена) для всех значений переменной, при которых её знаменатель не равен нулю.
Чтобы дробь не имела смысла при $x=7$, необходимо, чтобы её знаменатель обращался в ноль при этом значении $x$. Простейший многочлен, который равен нулю при $x=7$, это $x-7$.
В качестве числителя можно взять любое число, отличное от нуля (например, 1), или любой многочлен. Условие "содержит переменную $x$" будет выполнено, так как переменная есть в знаменателе.
Таким образом, примером такой дроби может быть: $ \frac{1}{x-7} $
Эта дробь определена для всех $x$, кроме тех, где $x-7=0$, то есть $x=7$.
Ответ: $ \frac{1}{x-7} $.

2) Аналогично первому пункту, чтобы дробь не имела смысла при $x=-1$, её знаменатель должен быть равен нулю при $x=-1$.
Этому условию удовлетворяет многочлен $x - (-1)$, то есть $x+1$.
В качестве числителя снова выберем 1. Получаем дробь: $ \frac{1}{x+1} $
Эта дробь определена для всех $x$, кроме тех, где $x+1=0$, то есть $x=-1$.
Ответ: $ \frac{1}{x+1} $.

3) В данном случае дробь не должна иметь смысла при двух значениях: $x=0$ и $x=4$. Это означает, что знаменатель дроби должен обращаться в ноль при каждом из этих значений.
Чтобы знаменатель был равен нулю при $x=0$, он должен содержать множитель $(x-0)$, то есть $x$.
Чтобы знаменатель был равен нулю при $x=4$, он должен содержать множитель $x-4$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, знаменатель должен быть произведением этих множителей: $x(x-4)$.
Составим дробь с таким знаменателем и числителем, равным 1: $ \frac{1}{x(x-4)} $
Знаменатель этой дроби, $x(x-4)$ или $x^2-4x$, равен нулю, если $x=0$ или $x-4=0$. То есть, дробь не имеет смысла при $x=0$ и $x=4$.
Ответ: $ \frac{1}{x(x-4)} $.