Номер 6, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 6, страница 7.

Условие.

6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби?

Решение 2.

Решение 8.

По определению, рациональная дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причём $Q$ не является нулевым многочленом.

Ключевое ограничение для любой дроби (и для операции деления в целом) заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю. Если бы знаменатель был равен нулю, операция деления потеряла бы смысл.

Рассмотрим, что такое многочлен. Многочлен — это выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, включающее только операции сложения, вычитания, умножения и возведения в неотрицательную целую степень. Например, $x^2+3x-4$, $5$, $y+z$.

Среди всех многочленов есть один особый случай — это многочлен, тождественно равный нулю (его также называют нуль-многочленом). Это многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. Он записывается просто как $0$ и его значение равно нулю при любых значениях переменных.

Если мы попытаемся использовать этот многочлен в качестве знаменателя $Q$, мы получим выражение вида $\frac{P}{0}$, что является недопустимым в математике.

Любой другой, не равный тождественно нулю многочлен, может быть знаменателем. Например, в дроби $\frac{x}{x-5}$ знаменатель $x-5$ является многочленом. Он обращается в ноль при $x=5$, поэтому область определения этой дроби — все числа, кроме $5$. Однако сам многочлен $x-5$ не является тождественно равным нулю. Даже многочлен-константа, например $7$, может быть знаменателем: $\frac{x^2}{7}$. Этот знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, единственный многочлен, который не может выступать в роли знаменателя рациональной дроби, — это многочлен, тождественно равный нулю.

Ответ: Многочлен, тождественно равный нулю (нуль-многочлен).