Номер 5, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 5, страница 8.

Условие.

5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение:

1) $2x - 5;$

2) $\frac{18}{m};$

3) $\frac{9}{x - 5};$

4) $\frac{x - 5}{9};$

5) $\frac{2 + y}{1 + y};$

6) $\frac{1}{x^2 + 4};$

7) $\frac{5}{x^2 - 4};$

8) $\frac{5}{|x| - 4};$

9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1};$

10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)};$

11) $\frac{x}{|x| + 1};$

12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение $2x - 5$ является целым выражением, которое не содержит деления на переменную или извлечения корня. Такие выражения определены для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

2) Выражение $\frac{18}{m}$ является дробью. Допустимые значения переменной — это все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. $m \neq 0$.
Ответ: $m \neq 0$.

3) Знаменатель дроби $\frac{9}{x - 5}$ не должен равняться нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - 5 = 0$ $x = 5$ Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 5.
Ответ: $x \neq 5$.

4) В выражении $\frac{x - 5}{9}$ знаменатель является постоянным числом 9, которое не равно нулю. Поэтому выражение определено для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

5) Знаменатель дроби $\frac{2 + y}{1 + y}$ не должен равняться нулю. $1 + y \neq 0$ $y \neq -1$ Допустимыми являются все значения $y$, кроме -1.
Ответ: $y \neq -1$.

6) Знаменатель дроби $\frac{1}{x^2 + 4}$ не должен равняться нулю. Рассмотрим выражение в знаменателе: $x^2 + 4$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что знаменатель никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение определено для любых значений $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

7) Знаменатель дроби $\frac{5}{x^2 - 4}$ не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2 - 4 = 0$ $(x - 2)(x + 2) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$ $x = 2$ или $x = -2$ Эти значения являются недопустимыми.
Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

8) Знаменатель дроби $\frac{5}{|x| - 4}$ не должен равняться нулю. $|x| - 4 \neq 0$ $|x| \neq 4$ Это означает, что $x$ не может быть равен 4 или -4.
Ответ: $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

9) Выражение $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой дроби не равен нулю. Для первой дроби: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Для второй дроби: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Оба условия должны выполняться одновременно.
Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

10) Знаменатель дроби $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$ не должен равняться нулю. $x(x - 6) \neq 0$ Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$ $x \neq 0$ и $x \neq 6$
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 6$.

11) Знаменатель дроби $\frac{x}{|x| + 1}$ не должен равняться нулю. Рассмотрим выражение в знаменателе: $|x| + 1$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $|x| + 1 \ge 1$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю. Следовательно, выражение определено для любых значений $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

12) Знаменатель дроби $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$ не должен равняться нулю. $(x - 3)(x + 5) \neq 0$ Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x - 3 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$ $x \neq 3$ и $x \neq -5$
Ответ: $x \neq 3$ и $x \neq -5$.