Страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение:

1) $2x - 5;$

2) $\frac{18}{m};$

3) $\frac{9}{x - 5};$

4) $\frac{x - 5}{9};$

5) $\frac{2 + y}{1 + y};$

6) $\frac{1}{x^2 + 4};$

7) $\frac{5}{x^2 - 4};$

8) $\frac{5}{|x| - 4};$

9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1};$

10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)};$

11) $\frac{x}{|x| + 1};$

12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}.$

1) Выражение $2x - 5$ является целым выражением, которое не содержит деления на переменную или извлечения корня. Такие выражения определены для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

2) Выражение $\frac{18}{m}$ является дробью. Допустимые значения переменной — это все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. $m \neq 0$.
Ответ: $m \neq 0$.

3) Знаменатель дроби $\frac{9}{x - 5}$ не должен равняться нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - 5 = 0$ $x = 5$ Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 5.
Ответ: $x \neq 5$.

4) В выражении $\frac{x - 5}{9}$ знаменатель является постоянным числом 9, которое не равно нулю. Поэтому выражение определено для любых значений переменной $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

5) Знаменатель дроби $\frac{2 + y}{1 + y}$ не должен равняться нулю. $1 + y \neq 0$ $y \neq -1$ Допустимыми являются все значения $y$, кроме -1.
Ответ: $y \neq -1$.

6) Знаменатель дроби $\frac{1}{x^2 + 4}$ не должен равняться нулю. Рассмотрим выражение в знаменателе: $x^2 + 4$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что знаменатель никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение определено для любых значений $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

7) Знаменатель дроби $\frac{5}{x^2 - 4}$ не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x^2 - 4 = 0$ $(x - 2)(x + 2) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$ $x = 2$ или $x = -2$ Эти значения являются недопустимыми.
Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

8) Знаменатель дроби $\frac{5}{|x| - 4}$ не должен равняться нулю. $|x| - 4 \neq 0$ $|x| \neq 4$ Это означает, что $x$ не может быть равен 4 или -4.
Ответ: $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

9) Выражение $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой дроби не равен нулю. Для первой дроби: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Для второй дроби: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Оба условия должны выполняться одновременно.
Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

10) Знаменатель дроби $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$ не должен равняться нулю. $x(x - 6) \neq 0$ Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$ $x \neq 0$ и $x \neq 6$
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 6$.

11) Знаменатель дроби $\frac{x}{|x| + 1}$ не должен равняться нулю. Рассмотрим выражение в знаменателе: $|x| + 1$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $|x| + 1 \ge 1$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю. Следовательно, выражение определено для любых значений $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

12) Знаменатель дроби $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$ не должен равняться нулю. $(x - 3)(x + 5) \neq 0$ Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x - 3 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$ $x \neq 3$ и $x \neq -5$
Ответ: $x \neq 3$ и $x \neq -5$.

6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{9}{y}$;

2) $\frac{x+7}{x+9}$;

3) $\frac{m-1}{m^2-9}$;

4) $\frac{x}{|x|-3}$;

5) $\frac{4}{x-8} + \frac{1}{x-1}$;

6) $\frac{2x-3}{(x+2)(x-10)}$?

1) Выражение $\frac{9}{y}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $y$. Следовательно, чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие:
$y \neq 0$
Ответ: при всех значениях $y$, кроме $y=0$.

2) Выражение $\frac{x+7}{x+9}$ имеет смысл, когда его знаменатель $x+9$ не равен нулю. Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x+9 = 0$
$x = -9$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-9$.
Ответ: при всех значениях $x$, кроме $x=-9$.

3) Выражение $\frac{m-1}{m^2-9}$ имеет смысл, когда его знаменатель $m^2-9$ не равен нулю. Найдем значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль:
$m^2-9 = 0$
Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:
$(m-3)(m+3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$m-3=0$ или $m+3=0$
$m=3$ или $m=-3$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $m$, кроме $m=3$ и $m=-3$.
Ответ: при всех значениях $m$, кроме $m=3$ и $m=-3$.

4) Выражение $\frac{x}{|x|-3}$ имеет смысл, когда его знаменатель $|x|-3$ не равен нулю. Найдем значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль:
$|x|-3 = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение верно при $x=3$ и при $x=-3$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=3$ и $x=-3$.
Ответ: при всех значениях $x$, кроме $x=3$ и $x=-3$.

5) Выражение $\frac{4}{x-8} + \frac{1}{x-1}$ представляет собой сумму двух дробей. Оно имеет смысл тогда, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю.
1) Знаменатель первой дроби: $x-8 \neq 0 \implies x \neq 8$.
2) Знаменатель второй дроби: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Оба условия должны выполняться одновременно.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=1$ и $x=8$.
Ответ: при всех значениях $x$, кроме $x=1$ и $x=8$.

6) Выражение $\frac{2x-3}{(x+2)(x-10)}$ имеет смысл, когда его знаменатель $(x+2)(x-10)$ не равен нулю. Найдем значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль:
$(x+2)(x-10) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x+2=0$ или $x-10=0$
$x=-2$ или $x=10$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-2$ и $x=10$.
Ответ: при всех значениях $x$, кроме $x=-2$ и $x=10$.

7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную $x$ и имеет смысл при всех значениях $x$, кроме:

1) $x = 7$;

2) $x = -1$;

3) $x = 0$ и $x = 4$.

1) Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Такая дробь имеет смысл (определена) для всех значений переменной, при которых её знаменатель не равен нулю.
Чтобы дробь не имела смысла при $x=7$, необходимо, чтобы её знаменатель обращался в ноль при этом значении $x$. Простейший многочлен, который равен нулю при $x=7$, это $x-7$.
В качестве числителя можно взять любое число, отличное от нуля (например, 1), или любой многочлен. Условие "содержит переменную $x$" будет выполнено, так как переменная есть в знаменателе.
Таким образом, примером такой дроби может быть: $ \frac{1}{x-7} $
Эта дробь определена для всех $x$, кроме тех, где $x-7=0$, то есть $x=7$.
Ответ: $ \frac{1}{x-7} $.

2) Аналогично первому пункту, чтобы дробь не имела смысла при $x=-1$, её знаменатель должен быть равен нулю при $x=-1$.
Этому условию удовлетворяет многочлен $x - (-1)$, то есть $x+1$.
В качестве числителя снова выберем 1. Получаем дробь: $ \frac{1}{x+1} $
Эта дробь определена для всех $x$, кроме тех, где $x+1=0$, то есть $x=-1$.
Ответ: $ \frac{1}{x+1} $.

3) В данном случае дробь не должна иметь смысла при двух значениях: $x=0$ и $x=4$. Это означает, что знаменатель дроби должен обращаться в ноль при каждом из этих значений.
Чтобы знаменатель был равен нулю при $x=0$, он должен содержать множитель $(x-0)$, то есть $x$.
Чтобы знаменатель был равен нулю при $x=4$, он должен содержать множитель $x-4$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, знаменатель должен быть произведением этих множителей: $x(x-4)$.
Составим дробь с таким знаменателем и числителем, равным 1: $ \frac{1}{x(x-4)} $
Знаменатель этой дроби, $x(x-4)$ или $x^2-4x$, равен нулю, если $x=0$ или $x-4=0$. То есть, дробь не имеет смысла при $x=0$ и $x=4$.
Ответ: $ \frac{1}{x(x-4)} $.

8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $y$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 5;

2) все числа, кроме -2 и 0;

3) все числа, кроме 3, -3 и 6;

4) все числа.

Рациональная дробь — это дробь вида $\frac{P(y)}{Q(y)}$, где $P(y)$ и $Q(y)$ — многочлены. Область допустимых значений (ОДЗ) рациональной дроби — это все значения переменной, при которых знаменатель $Q(y)$ не равен нулю. Таким образом, чтобы исключить некоторые значения из ОДЗ, нужно составить такой знаменатель, который обращается в ноль именно при этих значениях.

1) все числа, кроме 5;

Чтобы из области допустимых значений исключить только число 5, знаменатель дроби должен быть равен нулю при $y = 5$. Самый простой многочлен, который имеет корень $y=5$, — это $y-5$. В качестве числителя можно выбрать любое число, не равное нулю (например, 1) или любой многочлен. Таким образом, один из возможных вариантов дроби:

$\frac{1}{y-5}$

Действительно, знаменатель $y-5=0$ только при $y=5$.

Ответ: $\frac{1}{y-5}$

2) все числа, кроме –2 и 0;

В этом случае знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $y = -2$ и $y = 0$. Это означает, что многочлен в знаменателе должен иметь корни -2 и 0. Такой многочлен можно составить, перемножив соответствующие множители: $(y - (-2))$ и $(y - 0)$.

Знаменатель: $y(y+2) = y^2+2y$.

Выбрав в качестве числителя 1, получаем дробь:

$\frac{1}{y(y+2)}$

Знаменатель $y(y+2)$ равен нулю при $y=0$ или $y=-2$.

Ответ: $\frac{1}{y(y+2)}$

3) все числа, кроме 3, –3 и 6;

Здесь знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $y = 3$, $y = -3$ и $y = 6$. Составляем знаменатель как произведение множителей, соответствующих этим корням: $(y-3)$, $(y-(-3))$, $(y-6)$.

Знаменатель: $(y-3)(y+3)(y-6)$.

Снова выберем числитель, равный 1. Получаем дробь:

$\frac{1}{(y-3)(y+3)(y-6)}$

Знаменатель равен нулю, если один из множителей равен нулю, то есть при $y=3$, $y=-3$ или $y=6$.

Ответ: $\frac{1}{(y-3)(y+3)(y-6)}$

4) все числа.

Если допустимыми значениями являются все числа, это означает, что знаменатель дроби никогда не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $y$. Нужно подобрать многочлен, который не имеет действительных корней. Простейший пример такого многочлена — $y^2+a$, где $a$ — любое положительное число. Возьмем, например, $a=1$.

Знаменатель: $y^2+1$.

Выражение $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), поэтому $y^2+1$ всегда больше или равно 1 и никогда не равно нулю. Взяв в числителе 1, получаем дробь:

$\frac{1}{y^2+1}$

Другим простым примером может служить дробь, знаменатель которой — ненулевая константа, например, $\frac{y}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{y^2+1}$

9. Автомобиль проехал по шоссе $a$ км со скоростью $75$ км/ч и по грунтовой дороге $b$ км со скоростью $40$ км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при $a=150, b=20$.

Составление выражения

Чтобы найти общее время, которое автомобиль был в пути, нужно сложить время, затраченное на каждый участок. Время ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - это расстояние, а $v$ - это скорость.

1. Время, затраченное на путь по шоссе, где расстояние равно $a$ км, а скорость 75 км/ч, составляет: $t_{шоссе} = \frac{a}{75}$ часов.

2. Время, затраченное на путь по грунтовой дороге, где расстояние равно $b$ км, а скорость 40 км/ч, составляет: $t_{грунт} = \frac{b}{40}$ часов.

3. Общее время в пути $T$ равно сумме времени, затраченного на оба участка: $T = t_{шоссе} + t_{грунт}$.

Таким образом, выражение для нахождения времени, за которое автомобиль проехал весь путь, выглядит так: $\frac{a}{75} + \frac{b}{40}$

Ответ: $\frac{a}{75} + \frac{b}{40}$.

Нахождение значения выражения

Теперь подставим в составленное выражение заданные значения $a = 150$ и $b = 20$:

$\frac{150}{75} + \frac{20}{40}$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$\frac{150}{75} = 2$ (часа)

$\frac{20}{40} = 0.5$ (часа)

Сложим полученные значения, чтобы найти общее время:

$2 + 0.5 = 2.5$ (часа)

Ответ: 2,5 часа.

10. Ученик купил ручки по 58 р., заплатив за них $m$ р., и по 45 р., заплатив за них $n$ р. Сколько ручек купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при $m = 174, n = 180$.

Составьте выражение

Чтобы найти общее количество купленных ручек, нужно сначала определить количество ручек каждого вида, а затем сложить эти количества.

1. Количество ручек по цене 58 рублей за штуку можно найти, разделив общую уплаченную за них сумму $m$ на цену одной такой ручки: $m / 58$.

2. Количество ручек по цене 45 рублей за штуку можно найти, разделив общую уплаченную за них сумму $n$ на цену одной такой ручки: $n / 45$.

3. Общее количество ручек равно сумме количеств ручек первого и второго вида. Таким образом, выражение для нахождения общего количества ручек выглядит так:

$m/58 + n/45$

Ответ: $m/58 + n/45$.

Найдите его значение при $m = 174, n = 180$

Теперь подставим заданные значения $m = 174$ и $n = 180$ в составленное выражение и вычислим его значение.

$174/58 + 180/45$

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычислим первое слагаемое (количество ручек по 58 р.):$174 : 58 = 3$ (ручки)

2. Вычислим второе слагаемое (количество ручек по 45 р.):$180 : 45 = 4$ (ручки)

3. Сложим полученные результаты, чтобы найти общее количество ручек:$3 + 4 = 7$ (ручек)

Ответ: 7.

11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение дроби:

1) $\frac{1}{x^2}$ положительное;

2) $\frac{x^2+1}{6x-9-x^2}$ отрицательное.

1) Необходимо доказать, что значение дроби $\frac{1}{x^2}$ положительное при всех допустимых значениях переменной $x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Дробь имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x^2$. $x^2 \ne 0$ Это неравенство выполняется для всех значений $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Теперь проанализируем знак дроби при всех допустимых значениях $x$.
Числитель дроби равен 1. Это положительное число ($1 > 0$).
Знаменатель дроби равен $x^2$. Для любого действительного числа $x$, не равного нулю, его квадрат $x^2$ всегда будет положительным числом. Например, если $x = 2$, то $x^2 = 4 > 0$; если $x = -2$, то $x^2 = 4 > 0$. Итак, при $x \ne 0$ имеем $x^2 > 0$.
Дробь является частным от деления положительного числа (числитель) на положительное число (знаменатель). Результат такого деления всегда положителен. Следовательно, при всех допустимых значениях $x$ значение дроби $\frac{1}{x^2}$ является положительным.
Ответ: Доказано.

2) Необходимо доказать, что значение дроби $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ отрицательное при всех допустимых значениях переменной $x$.
Определим ОДЗ. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $6x - 9 - x^2 \ne 0$.
Проанализируем знак числителя и знаменателя.
Числитель: $x^2 + 1$. Для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что числитель всегда является строго положительным числом.
Знаменатель: $6x - 9 - x^2$. Преобразуем это выражение. Вынесем минус за скобки и поменяем порядок слагаемых: $6x - 9 - x^2 = -(x^2 - 6x + 9)$.
Выражение в скобках, $x^2 - 6x + 9$, является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3$: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $-(x-3)^2$.
Теперь вернемся к ОДЗ. Условие $6x - 9 - x^2 \ne 0$ эквивалентно $-(x-3)^2 \ne 0$. Это верно для всех $x$, кроме тех, для которых $(x-3)^2 = 0$, то есть $x-3=0$, что дает $x=3$. Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
При всех допустимых значениях $x$ (т.е. $x \ne 3$), выражение $(x-3)^2$ является квадратом ненулевого числа, а значит, оно всегда строго положительно: $(x-3)^2 > 0$. Тогда знаменатель $-(x-3)^2$ будет всегда строго отрицательным.
В итоге мы имеем дробь, у которой числитель ($x^2 + 1$) всегда положителен, а знаменатель ($6x - 9 - x^2$) при всех допустимых значениях $x$ всегда отрицателен. Частное от деления положительного числа на отрицательное всегда отрицательно. Следовательно, при всех допустимых значениях $x$ значение дроби $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ является отрицательным.
Ответ: Доказано.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение дроби:

1) $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$ неположительное;

2) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$ неотрицательное.

1) Рассмотрим дробь $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$.

Сначала определим область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Выражение в знаменателе $x^2 + 5$.

Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен, то есть $x^2 \geq 0$, то знаменатель $x^2 + 5 \geq 0 + 5 = 5$.

Так как знаменатель всегда больше или равен 5, он никогда не равен нулю. Следовательно, дробь определена для всех действительных значений $x$.

Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя.

Числитель: $-x^2$. Так как $x^2 \geq 0$, то $-x^2 \leq 0$. Это означает, что числитель является неположительным числом (то есть отрицательным или равным нулю).

Знаменатель: $x^2 + 5$. Как мы уже выяснили, $x^2 + 5 \geq 5$, то есть знаменатель является строго положительным числом.

При делении неположительного числа на положительное число результат всегда будет неположительным (меньше или равен нулю).

Таким образом, при всех допустимых значениях $x$ значение дроби $\frac{-x^2}{x^2 + 5} \leq 0$, то есть является неположительным.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$.

Сначала определим область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 2x + 1 \neq 0$.

Используя формулу квадрата разности, свернем знаменатель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Условие $(x-1)^2 \neq 0$ выполняется, когда $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Итак, допустимыми являются все значения $x$, кроме $x=1$.

Теперь преобразуем числитель. Используя формулу квадрата суммы, свернем числитель: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Таким образом, исходную дробь можно переписать в виде: $\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}$.

Проанализируем знаки числителя и знаменателя для всех допустимых значений $x$.

Числитель: $(x+2)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x+2)^2 \geq 0$.

Знаменатель: $(x-1)^2$. Для всех допустимых значений $x$ (то есть при $x \neq 1$), выражение $x-1$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа является строго положительным, то есть $(x-1)^2 > 0$.

Дробь представляет собой частное неотрицательного числа (числителя) и строго положительного числа (знаменателя). Такое частное всегда будет неотрицательным.

Таким образом, при всех допустимых значениях $x$ (где $x \neq 1$) значение дроби $\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2} \geq 0$, то есть является неотрицательным.

Ответ: Утверждение доказано.

13. Известно, что $5x - 15y = 1$. Найдите значение выражения:

1) $x - 3y;$

2) $\frac{8}{2x - 6y};$

3) $\frac{18y - 6x}{9};$

4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}.$

Для решения всех пунктов задачи сначала преобразуем данное в условии уравнение $5x - 15y = 1$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части:

$5(x - 3y) = 1$

Разделив обе части уравнения на 5, мы найдем значение выражения $x - 3y$, которое понадобится нам для решения всех подпунктов:

$x - 3y = \frac{1}{5}$

Теперь решим каждый пункт по отдельности.

1) $x - 3y$

Как было найдено выше из исходного уравнения:

$x - 3y = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) $\frac{8}{2x - 6y}$

Преобразуем знаменатель дроби, вынеся за скобки общий множитель 2:

$2x - 6y = 2(x - 3y)$

Мы знаем, что $x - 3y = \frac{1}{5}$, подставим это значение в знаменатель:

$2(x - 3y) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь вычислим значение всего выражения:

$\frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \div \frac{2}{5} = 8 \cdot \frac{5}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Ответ: 20

3) $\frac{18y - 6x}{9}$

Преобразуем числитель дроби. Для этого вынесем за скобки общий множитель -6, чтобы получить в скобках известное нам выражение:

$18y - 6x = -6(x - 3y)$

Подставим значение $x - 3y = \frac{1}{5}$ в числитель:

$-6(x - 3y) = -6 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$

Теперь вычислим значение всего выражения:

$\frac{-\frac{6}{5}}{9} = -\frac{6}{5 \cdot 9} = -\frac{6}{45}$

Сократим полученную дробь на 3:

$-\frac{6 \div 3}{45 \div 3} = -\frac{2}{15}$

Ответ: $-\frac{2}{15}$

4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}$

Знаменатель дроби $x^2 - 6xy + 9y^2$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=3y$, поэтому:

$x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$

Подставим известное значение $x - 3y = \frac{1}{5}$ в знаменатель:

$(x - 3y)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$

Теперь вычислим значение всего выражения:

$\frac{1}{\frac{1}{25}} = 1 \div \frac{1}{25} = 1 \cdot \frac{25}{1} = 25$

Ответ: 25