Страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

32. Упростите выражение:

1) $-\frac{-a}{-b}$;

2) $-\frac{-a}{b}$;

3) $-\frac{a}{-b}$;

4) $--\frac{-a}{-b}$.

1) В выражении $\frac{-a}{-b}$ мы делим отрицательное число на отрицательное. Согласно правилу знаков, частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому знаки "минус" в числителе и знаменателе взаимно сокращаются.
$\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$
Ответ: $\frac{a}{b}$

2) В выражении $-\frac{-a}{b}$ имеется два знака "минус": один перед дробью и второй в числителе. Дробь $\frac{-a}{b}$ эквивалентна $-\frac{a}{b}$. Подставив это в исходное выражение, получим:
$-\frac{-a}{b} = -(-\frac{a}{b})$
Два знака "минус" подряд дают "плюс", следовательно:
$-(-\frac{a}{b}) = \frac{a}{b}$
Ответ: $\frac{a}{b}$

3) Выражение $-\frac{a}{-b}$ также содержит два знака "минус". Дробь со знаком "минус" в знаменателе $\frac{a}{-b}$ эквивалентна дроби со знаком "минус" перед ней, то есть $-\frac{a}{b}$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$-\frac{a}{-b} = -(-\frac{a}{b}) = \frac{a}{b}$
Здесь также два знака "минус" дают в результате "плюс".
Ответ: $\frac{a}{b}$

4) В выражении $-\frac{-a}{-b}$ присутствуют три знака "минус". Сначала упростим дробную часть $\frac{-a}{-b}$. Как и в первом пункте, деление отрицательного на отрицательное дает положительный результат: $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.
Теперь подставим упрощенную дробь обратно в выражение, учитывая знак "минус" перед ней:
$-\frac{-a}{-b} = -(\frac{a}{b}) = -\frac{a}{b}$
Также можно посчитать общее количество знаков "минус". Их три (нечетное число), поэтому итоговый результат будет отрицательным.
Ответ: $-\frac{a}{b}$

33. Восстановите равенства:

1) $\frac{a}{3} = \frac{\rule{2em}{0.4pt}}{6a} = \frac{\rule{2em}{0.4pt}}{9a^3} = \frac{\rule{2em}{0.4pt}}{15b} = \frac{4a^2c^3}{\rule{2em}{0.4pt}}$;

2) $\frac{m}{n} = \frac{4m}{\rule{2em}{0.4pt}} = \frac{\rule{2em}{0.4pt}}{2n^2} = \frac{\rule{2em}{0.4pt}}{mnp} = \frac{3m^4n^3}{\rule{2em}{0.4pt}}$.

1) Для восстановления данного равенства необходимо последовательно находить неизвестные числители и знаменатели, используя основное свойство дроби. Все дроби в цепочке должны быть равны исходной дроби $ \frac{a}{3} $.
1. Переход от $ \frac{a}{3} $ к $ \frac{?}{6a} $. Знаменатель был умножен на множитель $ \frac{6a}{3} = 2a $. Следовательно, числитель также нужно умножить на $ 2a $: $ a \cdot 2a = 2a^2 $. Получаем дробь $ \frac{2a^2}{6a} $.
2. Переход от $ \frac{a}{3} $ к $ \frac{?}{9a^3} $. Знаменатель был умножен на множитель $ \frac{9a^3}{3} = 3a^3 $. Умножаем числитель на $ 3a^3 $: $ a \cdot 3a^3 = 3a^4 $. Получаем дробь $ \frac{3a^4}{9a^3} $.
3. Переход от $ \frac{a}{3} $ к $ \frac{?}{15b} $. Знаменатель был умножен на множитель $ \frac{15b}{3} = 5b $. Умножаем числитель на $ 5b $: $ a \cdot 5b = 5ab $. Получаем дробь $ \frac{5ab}{15b} $.
4. Переход от $ \frac{a}{3} $ к $ \frac{4a^2c^3}{?} $. В этом случае известен числитель. Он был получен умножением исходного числителя $ a $ на множитель $ \frac{4a^2c^3}{a} = 4ac^3 $. Следовательно, знаменатель также нужно умножить на $ 4ac^3 $: $ 3 \cdot 4ac^3 = 12ac^3 $. Получаем дробь $ \frac{4a^2c^3}{12ac^3} $.
Таким образом, все пропуски заполнены.
Ответ: $ \frac{a}{3} = \frac{2a^2}{6a} = \frac{3a^4}{9a^3} = \frac{5ab}{15b} = \frac{4a^2c^3}{12ac^3} $.

2) Аналогично первому пункту, восстановим равенство, отталкиваясь от исходной дроби $ \frac{m}{n} $.
1. Переход от $ \frac{m}{n} $ к $ \frac{4m}{?} $. Числитель был умножен на $ 4 $. Умножаем знаменатель на $ 4 $: $ n \cdot 4 = 4n $. Получаем дробь $ \frac{4m}{4n} $.
2. Переход от $ \frac{m}{n} $ к $ \frac{?}{2n^2} $. Знаменатель был умножен на множитель $ \frac{2n^2}{n} = 2n $. Умножаем числитель на $ 2n $: $ m \cdot 2n = 2mn $. Получаем дробь $ \frac{2mn}{2n^2} $.
3. Переход от $ \frac{m}{n} $ к $ \frac{?}{mnp} $. Знаменатель был умножен на множитель $ \frac{mnp}{n} = mp $. Умножаем числитель на $ mp $: $ m \cdot mp = m^2p $. Получаем дробь $ \frac{m^2p}{mnp} $.
4. Переход от $ \frac{m}{n} $ к $ \frac{3m^4n^3}{?} $. Числитель был умножен на множитель $ \frac{3m^4n^3}{m} = 3m^3n^3 $. Умножаем знаменатель на $ 3m^3n^3 $: $ n \cdot 3m^3n^3 = 3m^3n^4 $. Получаем дробь $ \frac{3m^4n^3}{3m^3n^4} $.
Таким образом, все пропуски заполнены.
Ответ: $ \frac{m}{n} = \frac{4m}{4n} = \frac{2mn}{2n^2} = \frac{m^2p}{mnp} = \frac{3m^4n^3}{3m^3n^4} $.

34. Приведите дробь:

1) $\frac{a}{b^3}$ к знаменателю $b^5$;

2) $\frac{m}{9n}$ к знаменателю $27n^4$;

3) $\frac{6}{7x^2y}$ к знаменателю $35x^3y^2$;

4) $\frac{5k}{6p^5}$ к знаменателю $24p^9c$.

1) Чтобы привести дробь $\frac{a}{b^3}$ к знаменателю $b^5$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый: $b^5 : b^3 = b^{5-3} = b^2$. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:
$\frac{a}{b^3} = \frac{a \cdot b^2}{b^3 \cdot b^2} = \frac{ab^2}{b^5}$.
Ответ: $\frac{ab^2}{b^5}$

2) Чтобы привести дробь $\frac{m}{9n}$ к знаменателю $27n^4$, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный: $27n^4 : (9n) = \frac{27}{9} \cdot \frac{n^4}{n} = 3n^3$. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{m}{9n}$ на $3n^3$:
$\frac{m}{9n} = \frac{m \cdot 3n^3}{9n \cdot 3n^3} = \frac{3mn^3}{27n^4}$.
Ответ: $\frac{3mn^3}{27n^4}$

3) Чтобы привести дробь $\frac{6}{7x^2y}$ к знаменателю $35x^3y^2$, найдем дополнительный множитель: $(35x^3y^2) : (7x^2y) = \frac{35}{7} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^2}{y} = 5xy$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $5xy$:
$\frac{6}{7x^2y} = \frac{6 \cdot 5xy}{7x^2y \cdot 5xy} = \frac{30xy}{35x^3y^2}$.
Ответ: $\frac{30xy}{35x^3y^2}$

4) Чтобы привести дробь $\frac{5k}{6p^5}$ к знаменателю $24p^9c$, найдем дополнительный множитель: $(24p^9c) : (6p^5) = \frac{24}{6} \cdot \frac{p^9}{p^5} \cdot c = 4p^4c$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $4p^4c$:
$\frac{5k}{6p^5} = \frac{5k \cdot 4p^4c}{6p^5 \cdot 4p^4c} = \frac{20kp^4c}{24p^9c}$.
Ответ: $\frac{20kp^4c}{24p^9c}$

35. Приведите дробь:

1) $\frac{x}{y^2}$ к знаменателю $y^8$;

2) $\frac{a}{3b}$ к знаменателю $6b^3$;

3) $\frac{9}{4m^2n}$ к знаменателю $12m^3n^2$;

4) $\frac{11c}{15d^6}$ к знаменателю $30bd^7$.

1) Чтобы привести дробь $\frac{x}{y^2}$ к знаменателю $y^8$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого нужно разделить новый знаменатель на исходный знаменатель:
Дополнительный множитель: $\frac{y^8}{y^2} = y^{8-2} = y^6$.
Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:
$\frac{x \cdot y^6}{y^2 \cdot y^6} = \frac{xy^6}{y^8}$.
Ответ: $\frac{xy^6}{y^8}$.

2) Чтобы привести дробь $\frac{a}{3b}$ к знаменателю $6b^3$, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый:
Дополнительный множитель: $\frac{6b^3}{3b} = 2b^{3-1} = 2b^2$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $2b^2$:
$\frac{a \cdot 2b^2}{3b \cdot 2b^2} = \frac{2ab^2}{6b^3}$.
Ответ: $\frac{2ab^2}{6b^3}$.

3) Чтобы привести дробь $\frac{9}{4m^2n}$ к знаменателю $12m^3n^2$, найдем дополнительный множитель:
Дополнительный множитель: $\frac{12m^3n^2}{4m^2n} = 3m^{3-2}n^{2-1} = 3mn$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $3mn$:
$\frac{9 \cdot 3mn}{4m^2n \cdot 3mn} = \frac{27mn}{12m^3n^2}$.
Ответ: $\frac{27mn}{12m^3n^2}$.

4) Чтобы привести дробь $\frac{11c}{15d^6}$ к знаменателю $30bd^7$, найдем дополнительный множитель:
Дополнительный множитель: $\frac{30bd^7}{15d^6} = 2bd^{7-6} = 2bd$.
Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $2bd$:
$\frac{11c \cdot 2bd}{15d^6 \cdot 2bd} = \frac{22bcd}{30bd^7}$.
Ответ: $\frac{22bcd}{30bd^7}$.

36. Сократите дробь:

1) $\frac{a(x+2)}{b(x+2)};$

2) $\frac{4(a-6)^2}{(a-6)^3};$

3) $\frac{c^3(c-4)^5}{c^6(c-4)^3};$

4) $\frac{2a+2b}{7(a+b)};$

5) $\frac{7x-21y}{5x-15y};$

6) $\frac{4a-20b}{12ab};$

7) $\frac{6x+12}{6x};$

8) $\frac{a-5b}{a^2-5ab};$

9) $\frac{y^2-25}{10+2y};$

10) $\frac{a^2+4a+4}{9a+18};$

11) $\frac{c^2-6c+9}{c^2-9};$

12) $\frac{m^3+1}{m^2-m+1}.$

1) Дана дробь $\frac{a(x+2)}{b(x+2)}$.
Числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x+2)$. Сократим дробь на этот множитель (при условии, что $x+2 \neq 0$).
$\frac{a(x+2)}{b(x+2)} = \frac{a}{b}$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

2) Дана дробь $\frac{4(a-6)^2}{(a-6)^3}$.
Представим знаменатель в виде $(a-6)^3 = (a-6)^2 \cdot (a-6)$.
Дробь примет вид: $\frac{4(a-6)^2}{(a-6)^2 \cdot (a-6)}$.
Сократим общий множитель $(a-6)^2$ (при условии, что $a-6 \neq 0$).
$\frac{4\cancel{(a-6)^2}}{\cancel{(a-6)^2} \cdot (a-6)} = \frac{4}{a-6}$.
Ответ: $\frac{4}{a-6}$

3) Дана дробь $\frac{c^3(c-4)^5}{c^6(c-4)^3}$.
Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$.
Для основания $c$: $\frac{c^3}{c^6} = c^{3-6} = c^{-3} = \frac{1}{c^3}$.
Для основания $(c-4)$: $\frac{(c-4)^5}{(c-4)^3} = (c-4)^{5-3} = (c-4)^2$.
Объединив результаты, получаем: $\frac{(c-4)^2}{c^3}$.
Ответ: $\frac{(c-4)^2}{c^3}$

4) Дана дробь $\frac{2a+2b}{7(a+b)}$.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a+2b = 2(a+b)$.
Дробь примет вид: $\frac{2(a+b)}{7(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq 0$).
$\frac{2\cancel{(a+b)}}{7\cancel{(a+b)}} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$

5) Дана дробь $\frac{7x-21y}{5x-15y}$.
В числителе вынесем общий множитель 7 за скобки: $7x-21y = 7(x-3y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5x-15y = 5(x-3y)$.
Дробь примет вид: $\frac{7(x-3y)}{5(x-3y)}$.
Сократим общий множитель $(x-3y)$ (при условии, что $x-3y \neq 0$).
$\frac{7\cancel{(x-3y)}}{5\cancel{(x-3y)}} = \frac{7}{5}$.
Ответ: $\frac{7}{5}$

6) Дана дробь $\frac{4a-20b}{12ab}$.
В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4a-20b = 4(a-5b)$.
Дробь примет вид: $\frac{4(a-5b)}{12ab}$.
Сократим числовые коэффициенты 4 и 12: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$\frac{4(a-5b)}{12ab} = \frac{a-5b}{3ab}$.
Ответ: $\frac{a-5b}{3ab}$

7) Дана дробь $\frac{6x+12}{6x}$.
В числителе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6x+12 = 6(x+2)$.
Дробь примет вид: $\frac{6(x+2)}{6x}$.
Сократим общий множитель 6 (при условии, что $x \neq 0$).
$\frac{6(x+2)}{6x} = \frac{x+2}{x}$.
Дробь также можно записать как $1 + \frac{2}{x}$.
Ответ: $\frac{x+2}{x}$

8) Дана дробь $\frac{a-5b}{a^2-5ab}$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2-5ab = a(a-5b)$.
Дробь примет вид: $\frac{a-5b}{a(a-5b)}$.
Сократим общий множитель $(a-5b)$ (при условии, что $a-5b \neq 0$ и $a \neq 0$).
$\frac{\cancel{a-5b}}{a\cancel{(a-5b)}} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

9) Дана дробь $\frac{y^2-25}{10+2y}$.
Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $10+2y = 2(5+y)$.
Дробь примет вид: $\frac{(y-5)(y+5)}{2(5+y)}$.
Сократим общий множитель $(y+5)$ (так как $y+5 = 5+y$, при условии что $y+5 \neq 0$).
$\frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{2\cancel{(5+y)}} = \frac{y-5}{2}$.
Ответ: $\frac{y-5}{2}$

10) Дана дробь $\frac{a^2+4a+4}{9a+18}$.
Числитель является полным квадратом, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $a^2+4a+4 = (a+2)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 9 за скобки: $9a+18 = 9(a+2)$.
Дробь примет вид: $\frac{(a+2)^2}{9(a+2)}$.
Сократим общий множитель $(a+2)$ (при условии, что $a+2 \neq 0$).
$\frac{(a+2)^{\cancel{2}}}{9\cancel{(a+2)}} = \frac{a+2}{9}$.
Ответ: $\frac{a+2}{9}$

11) Дана дробь $\frac{c^2-6c+9}{c^2-9}$.
Числитель является полным квадратом: $c^2-6c+9 = (c-3)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $c^2-9 = (c-3)(c+3)$.
Дробь примет вид: $\frac{(c-3)^2}{(c-3)(c+3)}$.
Сократим общий множитель $(c-3)$ (при условии, что $c-3 \neq 0$ и $c+3 \neq 0$).
$\frac{(c-3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(c-3)}(c+3)} = \frac{c-3}{c+3}$.
Ответ: $\frac{c-3}{c+3}$

12) Дана дробь $\frac{m^3+1}{m^2-m+1}$.
Разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $m^3+1 = m^3+1^3 = (m+1)(m^2-m+1)$.
Дробь примет вид: $\frac{(m+1)(m^2-m+1)}{m^2-m+1}$.
Сократим общий множитель $(m^2-m+1)$. (Выражение $m^2-m+1$ всегда больше нуля, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$).
$\frac{(m+1)\cancel{(m^2-m+1)}}{\cancel{m^2-m+1}} = m+1$.
Ответ: $m+1$

37. Сократите дробь:

1) $ \frac{a - b}{2(b - a)}; $

2) $ \frac{3x - 6y}{4y - 2x}; $

3) $ \frac{m^2 - 5mn}{15n - 3m}; $

4) $ \frac{7a^4 - a^3b}{b^4 - 7ab^3}; $

5) $ \frac{x^2 - 25}{5x^2 - x^3}; $

6) $ \frac{y^2 - 12y + 36}{36 - y^2}. $

1)
Исходная дробь: $ \frac{a - b}{2(b - a)} $.
Чтобы сократить дробь, нужно найти общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что выражения $ a - b $ и $ b - a $ отличаются только знаком. Можно вынести $ -1 $ за скобки в знаменателе: $ b - a = -(a - b) $.
Подставим это в знаменатель дроби:
$ \frac{a - b}{2(b - a)} = \frac{a - b}{2 \cdot (-(a - b))} = \frac{a - b}{-2(a - b)} $.
Теперь мы можем сократить общий множитель $ (a - b) $, при условии, что $ a - b \neq 0 $, то есть $ a \neq b $.
$ \frac{1 \cdot (a - b)}{-2 \cdot (a - b)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

2)
Исходная дробь: $ \frac{3x - 6y}{4y - 2x} $.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель равен 3: $ 3x - 6y = 3(x - 2y) $.
В знаменателе общий множитель равен 2: $ 4y - 2x = 2(2y - x) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{3(x - 2y)}{2(2y - x)} $.
Заметим, что $ 2y - x = -(x - 2y) $. Подставим это в знаменатель:
$ \frac{3(x - 2y)}{2 \cdot (-(x - 2y))} = \frac{3(x - 2y)}{-2(x - 2y)} $.
Сократим общий множитель $ (x - 2y) $, при условии, что $ x - 2y \neq 0 $, то есть $ x \neq 2y $.
$ \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3}{2} $

3)
Исходная дробь: $ \frac{m^2 - 5mn}{15n - 3m} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки $ m $: $ m^2 - 5mn = m(m - 5n) $.
В знаменателе вынесем за скобки $ 3 $: $ 15n - 3m = 3(5n - m) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{m(m - 5n)}{3(5n - m)} $.
Выражения в скобках отличаются знаком: $ 5n - m = -(m - 5n) $.
$ \frac{m(m - 5n)}{3 \cdot (-(m - 5n))} = \frac{m(m - 5n)}{-3(m - 5n)} $.
Сократим на $ (m - 5n) $, при условии, что $ m - 5n \neq 0 $, то есть $ m \neq 5n $.
$ \frac{m}{-3} = -\frac{m}{3} $.
Ответ: $ -\frac{m}{3} $

4)
Исходная дробь: $ \frac{7a^4 - a^3b}{b^4 - 7ab^3} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a^3 $: $ 7a^4 - a^3b = a^3(7a - b) $.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ b^3 $: $ b^4 - 7ab^3 = b^3(b - 7a) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{a^3(7a - b)}{b^3(b - 7a)} $.
Заметим, что $ b - 7a = -(7a - b) $.
$ \frac{a^3(7a - b)}{b^3 \cdot (-(7a - b))} = \frac{a^3(7a - b)}{-b^3(7a - b)} $.
Сократим на $ (7a - b) $, при условии, что $ 7a - b \neq 0 $, то есть $ 7a \neq b $.
$ \frac{a^3}{-b^3} = -\frac{a^3}{b^3} $.
Ответ: $ -\frac{a^3}{b^3} $

5)
Исходная дробь: $ \frac{x^2 - 25}{5x^2 - x^3} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является разностью квадратов: $ x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) $.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ x^2 $: $ 5x^2 - x^3 = x^2(5 - x) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(x - 5)(x + 5)}{x^2(5 - x)} $.
Заметим, что $ 5 - x = -(x - 5) $.
$ \frac{(x - 5)(x + 5)}{x^2 \cdot (-(x - 5))} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{-x^2(x - 5)} $.
Сократим на $ (x - 5) $, при условии, что $ x - 5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Также из знаменателя следует, что $ x \neq 0 $.
$ \frac{x + 5}{-x^2} = -\frac{x + 5}{x^2} $.
Ответ: $ -\frac{x + 5}{x^2} $

6)
Исходная дробь: $ \frac{y^2 - 12y + 36}{36 - y^2} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является полным квадратом разности: $ y^2 - 12y + 36 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = (y - 6)^2 $.
Знаменатель является разностью квадратов: $ 36 - y^2 = 6^2 - y^2 = (6 - y)(6 + y) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(y - 6)^2}{(6 - y)(6 + y)} $.
Заметим, что $ 6 - y = -(y - 6) $.
$ \frac{(y - 6)(y - 6)}{-(y - 6)(y + 6)} $.
Сократим на $ (y - 6) $, при условии, что $ y - 6 \neq 0 $, то есть $ y \neq 6 $. Также из знаменателя следует, что $ y \neq -6 $.
$ \frac{y - 6}{-(y + 6)} = -\frac{y - 6}{y + 6} $.
Ответ: $ -\frac{y - 6}{y + 6} $

38. Сократите дробь:

1) $ \frac{3m - 3n}{7m - 7n} $;

2) $ \frac{5a + 25b}{2a^2 + 10ab} $;

3) $ \frac{4x - 16y}{16y} $;

4) $ \frac{x^2 - 49}{6x + 42} $;

5) $ \frac{12a^2 - 6a}{3 - 6a} $;

6) $ \frac{9b^2 - 1}{9b^2 + 6b + 1} $;

7) $ \frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6} $;

8) $ \frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1} $;

9) $ \frac{64 - x^2}{3x^2 - 24x} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3m - 3n}{7m - 7n}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель 3: $3m - 3n = 3(m - n)$.

В знаменателе общий множитель 7: $7m - 7n = 7(m - n)$.

Получаем дробь: $\frac{3(m - n)}{7(m - n)}$.

Сокращаем на общий множитель $(m - n)$:

$\frac{3\cancel{(m - n)}}{7\cancel{(m - n)}} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5a + 25b}{2a^2 + 10ab}$, вынесем общие множители за скобки.

В числителе общий множитель 5: $5a + 25b = 5(a + 5b)$.

В знаменателе общий множитель $2a$: $2a^2 + 10ab = 2a(a + 5b)$.

Получаем дробь: $\frac{5(a + 5b)}{2a(a + 5b)}$.

Сокращаем на общий множитель $(a + 5b)$:

$\frac{5\cancel{(a + 5b)}}{2a\cancel{(a + 5b)}} = \frac{5}{2a}$.

Ответ: $\frac{5}{2a}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{4x - 16y}{16y}$, вынесем общий множитель в числителе.

В числителе общий множитель 4: $4x - 16y = 4(x - 4y)$.

Получаем дробь: $\frac{4(x - 4y)}{16y}$.

Сокращаем числовые коэффициенты 4 и 16 на 4:

$\frac{4(x - 4y)}{16y} = \frac{x - 4y}{4y}$.

Дробь также можно разделить почленно: $\frac{4x}{16y} - \frac{16y}{16y} = \frac{x}{4y} - 1$.

Ответ: $\frac{x - 4y}{4y}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 49}{6x + 42}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - 49$ раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

В знаменателе $6x + 42$ выносим общий множитель 6: $6(x + 7)$.

Получаем дробь: $\frac{(x - 7)(x + 7)}{6(x + 7)}$.

Сокращаем на общий множитель $(x + 7)$:

$\frac{(x - 7)\cancel{(x + 7)}}{6\cancel{(x + 7)}} = \frac{x - 7}{6}$.

Ответ: $\frac{x - 7}{6}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{12a^2 - 6a}{3 - 6a}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе выносим общий множитель $6a$: $12a^2 - 6a = 6a(2a - 1)$.

В знаменателе выносим общий множитель 3: $3 - 6a = 3(1 - 2a)$.

Заметим, что выражения $(2a - 1)$ и $(1 - 2a)$ являются противоположными, то есть $(2a - 1) = -(1 - 2a)$.

Подставляем в дробь: $\frac{6a(2a - 1)}{3(1 - 2a)} = \frac{6a \cdot (-(1 - 2a))}{3(1 - 2a)} = \frac{-6a\cancel{(1 - 2a)}}{3\cancel{(1 - 2a)}} = \frac{-6a}{3} = -2a$.

Ответ: $-2a$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{9b^2 - 1}{9b^2 + 6b + 1}$, используем формулы сокращенного умножения.

Числитель $9b^2 - 1$ — это разность квадратов: $(3b)^2 - 1^2 = (3b - 1)(3b + 1)$.

Знаменатель $9b^2 + 6b + 1$ — это полный квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$: $(3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = (3b + 1)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(3b - 1)(3b + 1)}{(3b + 1)^2}$.

Сокращаем на общий множитель $(3b + 1)$:

$\frac{(3b - 1)\cancel{(3b + 1)}}{(3b + 1)^{\cancel{2}}} = \frac{3b - 1}{3b + 1}$.

Ответ: $\frac{3b - 1}{3b + 1}$.

7) Чтобы сократить дробь $\frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6}$, вынесем общие множители за скобки.

В числителе выносим $b^4$: $b^5 - b^4 = b^4(b - 1)$.

В знаменателе выносим $b^5$: $b^5 - b^6 = b^5(1 - b)$.

Заметим, что $(b - 1) = -(1 - b)$.

Подставляем в дробь: $\frac{b^4(b - 1)}{b^5(1 - b)} = \frac{b^4(-(1 - b))}{b^5(1 - b)} = \frac{-b^4\cancel{(1-b)}}{b^5\cancel{(1-b)}} = -\frac{b^4}{b^5} = -\frac{1}{b}$.

Ответ: $-\frac{1}{b}$.

8) Чтобы сократить дробь $\frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе выносим общий множитель 7: $7(m^2 + m + 1)$.

Знаменатель $m^3 - 1$ раскладываем по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $m^3 - 1^3 = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.

Получаем дробь: $\frac{7(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m^2 + m + 1)}$.

Сокращаем на общий множитель $(m^2 + m + 1)$:

$\frac{7\cancel{(m^2 + m + 1)}}{(m - 1)\cancel{(m^2 + m + 1)}} = \frac{7}{m - 1}$.

Ответ: $\frac{7}{m - 1}$.

9) Чтобы сократить дробь $\frac{64 - x^2}{3x^2 - 24x}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $64 - x^2$ — это разность квадратов: $8^2 - x^2 = (8 - x)(8 + x)$.

В знаменателе выносим общий множитель $3x$: $3x^2 - 24x = 3x(x - 8)$.

Заметим, что $(8 - x) = -(x - 8)$.

Подставляем в дробь: $\frac{(8 - x)(8 + x)}{3x(x - 8)} = \frac{-(x - 8)(8 + x)}{3x(x - 8)}$.

Сокращаем на общий множитель $(x - 8)$:

$\frac{-\cancel{(x - 8)}(8 + x)}{3x\cancel{(x - 8)}} = -\frac{8 + x}{3x}$.

Ответ: $-\frac{x + 8}{3x}$.