Номер 38, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 38, страница 15.

Условие.

38. Сократите дробь:

1) $ \frac{3m - 3n}{7m - 7n} $;

2) $ \frac{5a + 25b}{2a^2 + 10ab} $;

3) $ \frac{4x - 16y}{16y} $;

4) $ \frac{x^2 - 49}{6x + 42} $;

5) $ \frac{12a^2 - 6a}{3 - 6a} $;

6) $ \frac{9b^2 - 1}{9b^2 + 6b + 1} $;

7) $ \frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6} $;

8) $ \frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1} $;

9) $ \frac{64 - x^2}{3x^2 - 24x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3m - 3n}{7m - 7n}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель 3: $3m - 3n = 3(m - n)$.

В знаменателе общий множитель 7: $7m - 7n = 7(m - n)$.

Получаем дробь: $\frac{3(m - n)}{7(m - n)}$.

Сокращаем на общий множитель $(m - n)$:

$\frac{3\cancel{(m - n)}}{7\cancel{(m - n)}} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5a + 25b}{2a^2 + 10ab}$, вынесем общие множители за скобки.

В числителе общий множитель 5: $5a + 25b = 5(a + 5b)$.

В знаменателе общий множитель $2a$: $2a^2 + 10ab = 2a(a + 5b)$.

Получаем дробь: $\frac{5(a + 5b)}{2a(a + 5b)}$.

Сокращаем на общий множитель $(a + 5b)$:

$\frac{5\cancel{(a + 5b)}}{2a\cancel{(a + 5b)}} = \frac{5}{2a}$.

Ответ: $\frac{5}{2a}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{4x - 16y}{16y}$, вынесем общий множитель в числителе.

В числителе общий множитель 4: $4x - 16y = 4(x - 4y)$.

Получаем дробь: $\frac{4(x - 4y)}{16y}$.

Сокращаем числовые коэффициенты 4 и 16 на 4:

$\frac{4(x - 4y)}{16y} = \frac{x - 4y}{4y}$.

Дробь также можно разделить почленно: $\frac{4x}{16y} - \frac{16y}{16y} = \frac{x}{4y} - 1$.

Ответ: $\frac{x - 4y}{4y}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 49}{6x + 42}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - 49$ раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

В знаменателе $6x + 42$ выносим общий множитель 6: $6(x + 7)$.

Получаем дробь: $\frac{(x - 7)(x + 7)}{6(x + 7)}$.

Сокращаем на общий множитель $(x + 7)$:

$\frac{(x - 7)\cancel{(x + 7)}}{6\cancel{(x + 7)}} = \frac{x - 7}{6}$.

Ответ: $\frac{x - 7}{6}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{12a^2 - 6a}{3 - 6a}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе выносим общий множитель $6a$: $12a^2 - 6a = 6a(2a - 1)$.

В знаменателе выносим общий множитель 3: $3 - 6a = 3(1 - 2a)$.

Заметим, что выражения $(2a - 1)$ и $(1 - 2a)$ являются противоположными, то есть $(2a - 1) = -(1 - 2a)$.

Подставляем в дробь: $\frac{6a(2a - 1)}{3(1 - 2a)} = \frac{6a \cdot (-(1 - 2a))}{3(1 - 2a)} = \frac{-6a\cancel{(1 - 2a)}}{3\cancel{(1 - 2a)}} = \frac{-6a}{3} = -2a$.

Ответ: $-2a$.

6) Чтобы сократить дробь $\frac{9b^2 - 1}{9b^2 + 6b + 1}$, используем формулы сокращенного умножения.

Числитель $9b^2 - 1$ — это разность квадратов: $(3b)^2 - 1^2 = (3b - 1)(3b + 1)$.

Знаменатель $9b^2 + 6b + 1$ — это полный квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$: $(3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = (3b + 1)^2$.

Получаем дробь: $\frac{(3b - 1)(3b + 1)}{(3b + 1)^2}$.

Сокращаем на общий множитель $(3b + 1)$:

$\frac{(3b - 1)\cancel{(3b + 1)}}{(3b + 1)^{\cancel{2}}} = \frac{3b - 1}{3b + 1}$.

Ответ: $\frac{3b - 1}{3b + 1}$.

7) Чтобы сократить дробь $\frac{b^5 - b^4}{b^5 - b^6}$, вынесем общие множители за скобки.

В числителе выносим $b^4$: $b^5 - b^4 = b^4(b - 1)$.

В знаменателе выносим $b^5$: $b^5 - b^6 = b^5(1 - b)$.

Заметим, что $(b - 1) = -(1 - b)$.

Подставляем в дробь: $\frac{b^4(b - 1)}{b^5(1 - b)} = \frac{b^4(-(1 - b))}{b^5(1 - b)} = \frac{-b^4\cancel{(1-b)}}{b^5\cancel{(1-b)}} = -\frac{b^4}{b^5} = -\frac{1}{b}$.

Ответ: $-\frac{1}{b}$.

8) Чтобы сократить дробь $\frac{7m^2 + 7m + 7}{m^3 - 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе выносим общий множитель 7: $7(m^2 + m + 1)$.

Знаменатель $m^3 - 1$ раскладываем по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $m^3 - 1^3 = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.

Получаем дробь: $\frac{7(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m^2 + m + 1)}$.

Сокращаем на общий множитель $(m^2 + m + 1)$:

$\frac{7\cancel{(m^2 + m + 1)}}{(m - 1)\cancel{(m^2 + m + 1)}} = \frac{7}{m - 1}$.

Ответ: $\frac{7}{m - 1}$.

9) Чтобы сократить дробь $\frac{64 - x^2}{3x^2 - 24x}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $64 - x^2$ — это разность квадратов: $8^2 - x^2 = (8 - x)(8 + x)$.

В знаменателе выносим общий множитель $3x$: $3x^2 - 24x = 3x(x - 8)$.

Заметим, что $(8 - x) = -(x - 8)$.

Подставляем в дробь: $\frac{(8 - x)(8 + x)}{3x(x - 8)} = \frac{-(x - 8)(8 + x)}{3x(x - 8)}$.

Сокращаем на общий множитель $(x - 8)$:

$\frac{-\cancel{(x - 8)}(8 + x)}{3x\cancel{(x - 8)}} = -\frac{8 + x}{3x}$.

Ответ: $-\frac{x + 8}{3x}$.