Номер 44, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 44, страница 16.

Условие.

44. Сократите дробь:

1) $ \frac{(3a + 3b)^2}{a + b} $;

2) $ \frac{(6x - 18y)^2}{x^2 - 9y^2} $;

3) $ \frac{xy + x - 5y - 5}{4y + 4} $;

4) $ \frac{a^2 - ab + 2b - 2a}{a^2 - 4a + 4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{(3a + 3b)^2}{a + b}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$(3a + 3b)^2 = (3(a + b))^2$

Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получим:

$(3(a + b))^2 = 3^2 (a + b)^2 = 9(a + b)^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{9(a + b)^2}{a + b}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$:

$\frac{9(a + b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a + b}} = 9(a + b)$

Ответ: $9(a + b)$.

2) $\frac{(6x - 18y)^2}{x^2 - 9y^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель 6 за скобки:

$(6x - 18y)^2 = (6(x - 3y))^2 = 6^2 (x - 3y)^2 = 36(x - 3y)^2$

Знаменатель представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{36(x - 3y)^2}{(x - 3y)(x + 3y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 3y)$:

$\frac{36(x - 3y)^{\cancel{2}}}{(\cancel{x - 3y})(x + 3y)} = \frac{36(x - 3y)}{x + 3y}$

Ответ: $\frac{36(x - 3y)}{x + 3y}$.

3) $\frac{xy + x - 5y - 5}{4y + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе применим метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемыми:

$(xy + x) + (-5y - 5)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y + 1) - 5(y + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1)(x - 5)$

В знаменателе вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4y + 4 = 4(y + 1)$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(y + 1)(x - 5)}{4(y + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y + 1)$:

$\frac{\cancel{(y + 1)}(x - 5)}{4\cancel{(y + 1)}} = \frac{x - 5}{4}$

Ответ: $\frac{x - 5}{4}$.

4) $\frac{a^2 - ab + 2b - 2a}{a^2 - 4a + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$(a^2 - 2a) + (-ab + 2b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - 2) - b(a - 2)$

Вынесем общий множитель $(a - 2)$:

$(a - 2)(a - b)$

Знаменатель представляет собой квадрат разности по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$:

$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(a - 2)(a - b)}{(a - 2)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{\cancel{(a - 2)}(a - b)}{(a - 2)^{\cancel{2}}} = \frac{a - b}{a - 2}$

Ответ: $\frac{a - b}{a - 2}$.