Номер 46, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 46, страница 17.

Условие.

46. Найдите значение дроби, предварительно сократив её:

1) $\frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2}$, если $a = -2, b = 0,4$;

2) $\frac{9b^2 - 4c^2}{12b^2c - 8bc^2}$, если $b = \frac{1}{3}, c = -6$;

3) $\frac{36x^2 - 12xy + y^2}{y^2 - 36x^2}$, если $x = 1,2, y = -3$;

4) $\frac{a^8 - a^6}{a^9 + a^8}$, если $a = -0,1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана дробь $\frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2}$ при $a = -2$, $b = 0,4$.
Сначала упростим выражение. Для этого вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель $5a$: $15a^2 + 10ab = 5a(3a + 2b)$.
В знаменателе общий множитель $b$: $3ab + 2b^2 = b(3a + 2b)$.
Дробь принимает вид: $\frac{5a(3a + 2b)}{b(3a + 2b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3a + 2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие для данных значений: $3a + 2b = 3(-2) + 2(0,4) = -6 + 0,8 = -5,2 \neq 0$. Знаменатель $b = 0,4 \neq 0$. Сокращение возможно.
После сокращения получаем простое выражение: $\frac{5a}{b}$.
Теперь подставим заданные значения $a = -2$ и $b = 0,4$ в упрощенное выражение:
$\frac{5 \cdot (-2)}{0,4} = \frac{-10}{0,4} = \frac{-100}{4} = -25$.

Ответ: -25

2)

Дана дробь $\frac{9b^2 - 4c^2}{12b^2c - 8bc^2}$ при $b = \frac{1}{3}$, $c = -6$.
Упростим выражение. Числитель представляет собой разность квадратов: $9b^2 - 4c^2 = (3b)^2 - (2c)^2 = (3b - 2c)(3b + 2c)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4bc$: $12b^2c - 8bc^2 = 4bc(3b - 2c)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(3b - 2c)(3b + 2c)}{4bc(3b - 2c)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3b - 2c)$, убедившись, что он не равен нулю: $3b - 2c = 3(\frac{1}{3}) - 2(-6) = 1 + 12 = 13 \neq 0$. Сокращение возможно.
После сокращения получаем: $\frac{3b + 2c}{4bc}$.
Подставим заданные значения $b = \frac{1}{3}$ и $c = -6$ в упрощенное выражение:
$\frac{3(\frac{1}{3}) + 2(-6)}{4(\frac{1}{3})(-6)} = \frac{1 - 12}{4(-2)} = \frac{-11}{-8} = \frac{11}{8}$.
Это значение можно также представить в виде десятичной дроби: $1,375$.

Ответ: $\frac{11}{8}$

3)

Дана дробь $\frac{36x^2 - 12xy + y^2}{y^2 - 36x^2}$ при $x = 1,2$, $y = -3$.
Упростим выражение. Числитель является полным квадратом разности: $36x^2 - 12xy + y^2 = (6x - y)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $y^2 - 36x^2 = y^2 - (6x)^2 = (y - 6x)(y + 6x)$.
Заметим, что множитель в знаменателе $(y - 6x)$ можно представить как $-(6x - y)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(6x - y)^2}{-(6x - y)(y + 6x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(6x - y)$, проверив, что он не равен нулю: $6x - y = 6(1,2) - (-3) = 7,2 + 3 = 10,2 \neq 0$. Сокращение возможно.
После сокращения получаем: $\frac{6x - y}{-(y + 6x)} = -\frac{6x - y}{6x + y}$.
Подставим заданные значения $x = 1,2$ и $y = -3$ в упрощенное выражение:
$-\frac{6(1,2) - (-3)}{6(1,2) + (-3)} = -\frac{7,2 + 3}{7,2 - 3} = -\frac{10,2}{4,2} = -\frac{102}{42} = -\frac{17 \cdot 6}{7 \cdot 6} = -\frac{17}{7}$.

Ответ: $-\frac{17}{7}$

4)

Дана дробь $\frac{a^8 - a^6}{a^9 + a^8}$ при $a = -0,1$.
Упростим выражение, вынеся общие множители за скобки.
В числителе общий множитель $a^6$: $a^8 - a^6 = a^6(a^2 - 1)$.
В знаменателе общий множитель $a^8$: $a^9 + a^8 = a^8(a + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{a^6(a^2 - 1)}{a^8(a + 1)}$.
Выражение $a^2 - 1$ в числителе можно разложить по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.
Получаем: $\frac{a^6(a-1)(a+1)}{a^8(a+1)}$.
Сократим дробь на $a^6$ и на $(a+1)$, так как при $a = -0,1$ эти множители не равны нулю.
$\frac{a^6(a-1)(a+1)}{a^8(a+1)} = \frac{a-1}{a^2}$.
Подставим значение $a = -0,1$ в упрощенное выражение:
$\frac{-0,1 - 1}{(-0,1)^2} = \frac{-1,1}{0,01} = \frac{-1,1 \cdot 100}{0,01 \cdot 100} = \frac{-110}{1} = -110$.

Ответ: -110