Номер 47, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 47, страница 17.

Условие.

47. Найдите значение выражения:

1) $\frac{16x^2 - 4y^2}{6x - 3y}$ при $x = 2,5, y = -2$;

2) $\frac{49c^2 - 9}{49c^2 + 42c + 9}$ при $c = -4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{16x^2 - 4y^2}{6x - 3y}$ при $x = 2,5$ и $y = -2$, сначала упростим его.

Числитель дроби представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$16x^2 - 4y^2 = (4x)^2 - (2y)^2 = (4x - 2y)(4x + 2y)$.

В знаменателе дроби вынесем общий множитель 3 за скобки:

$6x - 3y = 3(2x - y)$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{(4x - 2y)(4x + 2y)}{3(2x - y)}$

В числителе в скобке $(4x - 2y)$ можно вынести за скобку общий множитель 2:

$4x - 2y = 2(2x - y)$.

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{2(2x - y)(4x + 2y)}{3(2x - y)}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(2x - y)$, так как при заданных значениях $x$ и $y$ он не равен нулю ($2 \cdot 2,5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \neq 0$).

После сокращения получаем более простое выражение:

$\frac{2(4x + 2y)}{3}$

Подставим в него заданные значения $x = 2,5$ и $y = -2$:

$\frac{2(4 \cdot 2,5 + 2 \cdot (-2))}{3} = \frac{2(10 - 4)}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Ответ: 4

2) Для нахождения значения выражения $\frac{49c^2 - 9}{49c^2 + 42c + 9}$ при $c = -4$, сначала упростим его.

Числитель $49c^2 - 9$ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$49c^2 - 9 = (7c)^2 - 3^2 = (7c - 3)(7c + 3)$.

Знаменатель $49c^2 + 42c + 9$ является полным квадратом суммы. Свернём его по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$49c^2 + 42c + 9 = (7c)^2 + 2 \cdot 7c \cdot 3 + 3^2 = (7c + 3)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{(7c - 3)(7c + 3)}{(7c + 3)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(7c + 3)$, так как при $c = -4$ он не равен нулю ($7 \cdot (-4) + 3 = -28 + 3 = -25 \neq 0$).

После сокращения получаем:

$\frac{7c - 3}{7c + 3}$

Подставим в упрощенное выражение значение $c = -4$:

$\frac{7 \cdot (-4) - 3}{7 \cdot (-4) + 3} = \frac{-28 - 3}{-28 + 3} = \frac{-31}{-25} = \frac{31}{25}$.

Для удобства переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{31}{25} = \frac{31 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{124}{100} = 1,24$.

Ответ: 1,24