Страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

45. Сократите дробь:

1) $\frac{2m^2 - 72n^2}{(4m + 24n)^2}$;

2) $\frac{a^3 - 8}{ab - a - 2b + 2}$;

3) $\frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 - ab^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2m^2 - 72n^2}{(4m + 24n)^2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$2m^2 - 72n^2 = 2(m^2 - 36n^2) = 2(m^2 - (6n)^2) = 2(m - 6n)(m + 6n)$.

Теперь преобразуем знаменатель. В выражении под знаком квадрата вынесем общий множитель 4 за скобки:
$(4m + 24n)^2 = (4(m + 6n))^2 = 4^2(m + 6n)^2 = 16(m + 6n)^2$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь и произведем сокращение на общие множители $2$ и $(m+6n)$:
$\frac{2(m - 6n)(m + 6n)}{16(m + 6n)^2} = \frac{m - 6n}{8(m + 6n)}$.

Ответ: $\frac{m-6n}{8(m+6n)}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - 8}{ab - a - 2b + 2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

Числитель является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Знаменатель разложим на множители методом группировки слагаемых:
$ab - a - 2b + 2 = (ab - a) + (-2b + 2) = a(b-1) - 2(b-1) = (a - 2)(b - 1)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(b - 1)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{b - 1}$.

Ответ: $\frac{a^2 + 2a + 4}{b - 1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + 2a^2b + ab^2}{a^3 - ab^2}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки, после чего применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ :
$a^3 + 2a^2b + ab^2 = a(a^2 + 2ab + b^2) = a(a+b)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2) = a(a-b)(a+b)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общие множители $a$ и $(a+b)$:
$\frac{a(a+b)^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a-b}$.

Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.

46. Найдите значение дроби, предварительно сократив её:

1) $\frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2}$, если $a = -2, b = 0,4$;

2) $\frac{9b^2 - 4c^2}{12b^2c - 8bc^2}$, если $b = \frac{1}{3}, c = -6$;

3) $\frac{36x^2 - 12xy + y^2}{y^2 - 36x^2}$, если $x = 1,2, y = -3$;

4) $\frac{a^8 - a^6}{a^9 + a^8}$, если $a = -0,1$.

1)

Дана дробь $\frac{15a^2 + 10ab}{3ab + 2b^2}$ при $a = -2$, $b = 0,4$.
Сначала упростим выражение. Для этого вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель $5a$: $15a^2 + 10ab = 5a(3a + 2b)$.
В знаменателе общий множитель $b$: $3ab + 2b^2 = b(3a + 2b)$.
Дробь принимает вид: $\frac{5a(3a + 2b)}{b(3a + 2b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3a + 2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие для данных значений: $3a + 2b = 3(-2) + 2(0,4) = -6 + 0,8 = -5,2 \neq 0$. Знаменатель $b = 0,4 \neq 0$. Сокращение возможно.
После сокращения получаем простое выражение: $\frac{5a}{b}$.
Теперь подставим заданные значения $a = -2$ и $b = 0,4$ в упрощенное выражение:
$\frac{5 \cdot (-2)}{0,4} = \frac{-10}{0,4} = \frac{-100}{4} = -25$.

Ответ: -25

2)

Дана дробь $\frac{9b^2 - 4c^2}{12b^2c - 8bc^2}$ при $b = \frac{1}{3}$, $c = -6$.
Упростим выражение. Числитель представляет собой разность квадратов: $9b^2 - 4c^2 = (3b)^2 - (2c)^2 = (3b - 2c)(3b + 2c)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4bc$: $12b^2c - 8bc^2 = 4bc(3b - 2c)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(3b - 2c)(3b + 2c)}{4bc(3b - 2c)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3b - 2c)$, убедившись, что он не равен нулю: $3b - 2c = 3(\frac{1}{3}) - 2(-6) = 1 + 12 = 13 \neq 0$. Сокращение возможно.
После сокращения получаем: $\frac{3b + 2c}{4bc}$.
Подставим заданные значения $b = \frac{1}{3}$ и $c = -6$ в упрощенное выражение:
$\frac{3(\frac{1}{3}) + 2(-6)}{4(\frac{1}{3})(-6)} = \frac{1 - 12}{4(-2)} = \frac{-11}{-8} = \frac{11}{8}$.
Это значение можно также представить в виде десятичной дроби: $1,375$.

Ответ: $\frac{11}{8}$

3)

Дана дробь $\frac{36x^2 - 12xy + y^2}{y^2 - 36x^2}$ при $x = 1,2$, $y = -3$.
Упростим выражение. Числитель является полным квадратом разности: $36x^2 - 12xy + y^2 = (6x - y)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $y^2 - 36x^2 = y^2 - (6x)^2 = (y - 6x)(y + 6x)$.
Заметим, что множитель в знаменателе $(y - 6x)$ можно представить как $-(6x - y)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(6x - y)^2}{-(6x - y)(y + 6x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(6x - y)$, проверив, что он не равен нулю: $6x - y = 6(1,2) - (-3) = 7,2 + 3 = 10,2 \neq 0$. Сокращение возможно.
После сокращения получаем: $\frac{6x - y}{-(y + 6x)} = -\frac{6x - y}{6x + y}$.
Подставим заданные значения $x = 1,2$ и $y = -3$ в упрощенное выражение:
$-\frac{6(1,2) - (-3)}{6(1,2) + (-3)} = -\frac{7,2 + 3}{7,2 - 3} = -\frac{10,2}{4,2} = -\frac{102}{42} = -\frac{17 \cdot 6}{7 \cdot 6} = -\frac{17}{7}$.

Ответ: $-\frac{17}{7}$

4)

Дана дробь $\frac{a^8 - a^6}{a^9 + a^8}$ при $a = -0,1$.
Упростим выражение, вынеся общие множители за скобки.
В числителе общий множитель $a^6$: $a^8 - a^6 = a^6(a^2 - 1)$.
В знаменателе общий множитель $a^8$: $a^9 + a^8 = a^8(a + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{a^6(a^2 - 1)}{a^8(a + 1)}$.
Выражение $a^2 - 1$ в числителе можно разложить по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.
Получаем: $\frac{a^6(a-1)(a+1)}{a^8(a+1)}$.
Сократим дробь на $a^6$ и на $(a+1)$, так как при $a = -0,1$ эти множители не равны нулю.
$\frac{a^6(a-1)(a+1)}{a^8(a+1)} = \frac{a-1}{a^2}$.
Подставим значение $a = -0,1$ в упрощенное выражение:
$\frac{-0,1 - 1}{(-0,1)^2} = \frac{-1,1}{0,01} = \frac{-1,1 \cdot 100}{0,01 \cdot 100} = \frac{-110}{1} = -110$.

Ответ: -110

47. Найдите значение выражения:

1) $\frac{16x^2 - 4y^2}{6x - 3y}$ при $x = 2,5, y = -2$;

2) $\frac{49c^2 - 9}{49c^2 + 42c + 9}$ при $c = -4$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{16x^2 - 4y^2}{6x - 3y}$ при $x = 2,5$ и $y = -2$, сначала упростим его.

Числитель дроби представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$16x^2 - 4y^2 = (4x)^2 - (2y)^2 = (4x - 2y)(4x + 2y)$.

В знаменателе дроби вынесем общий множитель 3 за скобки:

$6x - 3y = 3(2x - y)$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{(4x - 2y)(4x + 2y)}{3(2x - y)}$

В числителе в скобке $(4x - 2y)$ можно вынести за скобку общий множитель 2:

$4x - 2y = 2(2x - y)$.

Подставим это обратно в дробь:

$\frac{2(2x - y)(4x + 2y)}{3(2x - y)}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(2x - y)$, так как при заданных значениях $x$ и $y$ он не равен нулю ($2 \cdot 2,5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \neq 0$).

После сокращения получаем более простое выражение:

$\frac{2(4x + 2y)}{3}$

Подставим в него заданные значения $x = 2,5$ и $y = -2$:

$\frac{2(4 \cdot 2,5 + 2 \cdot (-2))}{3} = \frac{2(10 - 4)}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Ответ: 4

2) Для нахождения значения выражения $\frac{49c^2 - 9}{49c^2 + 42c + 9}$ при $c = -4$, сначала упростим его.

Числитель $49c^2 - 9$ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$49c^2 - 9 = (7c)^2 - 3^2 = (7c - 3)(7c + 3)$.

Знаменатель $49c^2 + 42c + 9$ является полным квадратом суммы. Свернём его по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$49c^2 + 42c + 9 = (7c)^2 + 2 \cdot 7c \cdot 3 + 3^2 = (7c + 3)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{(7c - 3)(7c + 3)}{(7c + 3)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(7c + 3)$, так как при $c = -4$ он не равен нулю ($7 \cdot (-4) + 3 = -28 + 3 = -25 \neq 0$).

После сокращения получаем:

$\frac{7c - 3}{7c + 3}$

Подставим в упрощенное выражение значение $c = -4$:

$\frac{7 \cdot (-4) - 3}{7 \cdot (-4) + 3} = \frac{-28 - 3}{-28 + 3} = \frac{-31}{-25} = \frac{31}{25}$.

Для удобства переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{31}{25} = \frac{31 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{124}{100} = 1,24$.

Ответ: 1,24

48. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{2p}{5p - 15}$ и $\frac{1}{p^3 - 27}$;

2) $\frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1}$ и $\frac{a - 2}{9a^2 - 1}$;

3) $\frac{a}{a^2 - 7a}$ и $\frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49}$;

4) $\frac{2x}{x^2 - 1}$, $\frac{3x}{x^2 - 2x + 1}$ и $\frac{4}{x^2 + 2x + 1}$;

5) $\frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc}$, $\frac{b}{2a - 2b}$ и $\frac{ab}{4a - 4c}$.

1) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{2p}{5p - 15} $ и $ \frac{1}{p^3 - 27} $.

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби.

Знаменатель первой дроби: $ 5p - 15 = 5(p - 3) $.

Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:
$ p^3 - 27 = p^3 - 3^3 = (p - 3)(p^2 + p \cdot 3 + 3^2) = (p - 3)(p^2 + 3p + 9) $.

Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он должен содержать все множители из разложений обоих знаменателей в наибольшей встречающейся степени.
НОЗ = $ 5(p - 3)(p^2 + 3p + 9) $. Его можно также записать как $ 5(p^3 - 27) $.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)}{5(p - 3)} = p^2 + 3p + 9 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)}{(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = 5 $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{2p}{5p - 15} = \frac{2p(p^2 + 3p + 9)}{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{2p^3 + 6p^2 + 18p}{5(p^3 - 27)} $

$ \frac{1}{p^3 - 27} = \frac{1 \cdot 5}{5(p - 3)(p^2 + 3p + 9)} = \frac{5}{5(p^3 - 27)} $

Ответ: $ \frac{2p^3 + 6p^2 + 18p}{5(p^3 - 27)} $ и $ \frac{5}{5(p^3 - 27)} $.

2) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1} $ и $ \frac{a - 2}{9a^2 - 1} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби является полным квадратом разности $ (x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 $:
$ 9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2 $.

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:
$ 9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1) $.

Наименьший общий знаменатель: НОЗ = $ (3a - 1)^2(3a + 1) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{(3a - 1)^2(3a + 1)}{(3a - 1)^2} = 3a + 1 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{(3a - 1)^2(3a + 1)}{(3a - 1)(3a + 1)} = 3a - 1 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3a + 1}{9a^2 - 6a + 1} = \frac{(3a + 1)(3a + 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} = \frac{(3a + 1)^2}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $

$ \frac{a - 2}{9a^2 - 1} = \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)(3a + 1)(3a - 1)} = \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $

Ответ: $ \frac{(3a + 1)^2}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $ и $ \frac{(a - 2)(3a - 1)}{(3a - 1)^2(3a + 1)} $.

3) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{a}{a^2 - 7a} $ и $ \frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби: $ a^2 - 7a = a(a - 7) $.

Знаменатель второй дроби является полным квадратом разности:
$ a^2 - 14a + 49 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = (a - 7)^2 $.

Наименьший общий знаменатель: НОЗ = $ a(a - 7)^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{a(a - 7)^2}{a(a - 7)} = a - 7 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a(a - 7)^2}{(a - 7)^2} = a $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a}{a^2 - 7a} = \frac{a(a - 7)}{a(a - 7)(a - 7)} = \frac{a(a - 7)}{a(a - 7)^2} = \frac{a^2 - 7a}{a(a - 7)^2} $

$ \frac{a + 3}{a^2 - 14a + 49} = \frac{(a + 3)a}{(a - 7)^2 \cdot a} = \frac{a^2 + 3a}{a(a - 7)^2} $

Ответ: $ \frac{a^2 - 7a}{a(a - 7)^2} $ и $ \frac{a^2 + 3a}{a(a - 7)^2} $.

4) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{2x}{x^2 - 1} $, $ \frac{3x}{x^2 - 2x + 1} $ и $ \frac{4}{x^2 + 2x + 1} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

Знаменатель второй дроби (квадрат разности): $ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $.

Знаменатель третьей дроби (квадрат суммы): $ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $.

Наименьший общий знаменатель должен содержать множители $ (x-1) $ и $ (x+1) $ в их наивысших степенях. НОЗ = $ (x - 1)^2(x + 1)^2 $. Его можно записать как $ ((x-1)(x+1))^2 = (x^2-1)^2 $.

Находим дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{(x - 1)^2(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 $.

Для второй дроби: $ \frac{(x - 1)^2(x + 1)^2}{(x - 1)^2} = (x + 1)^2 $.

Для третьей дроби: $ \frac{(x - 1)^2(x + 1)^2}{(x + 1)^2} = (x - 1)^2 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{2x(x^2 - 1)}{(x - 1)^2(x + 1)^2} $

$ \frac{3x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{3x(x + 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)^2} $

$ \frac{4}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x + 1)^2} $

Ответ: $ \frac{2x(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} $, $ \frac{3x(x + 1)^2}{(x^2 - 1)^2} $ и $ \frac{4(x - 1)^2}{(x^2 - 1)^2} $.

5) Приведем к общему знаменателю дроби $ \frac{a^2}{a^2 - ab - ac + bc} $, $ \frac{b}{2a - 2b} $ и $ \frac{ab}{4a - 4c} $.

Разложим на множители знаменатели.

Знаменатель первой дроби (методом группировки):
$ a^2 - ab - ac + bc = (a^2 - ab) - (ac - bc) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c) $.

Знаменатель второй дроби: $ 2a - 2b = 2(a - b) $.

Знаменатель третьей дроби: $ 4a - 4c = 4(a - c) $.

Наименьший общий знаменатель должен содержать числовой коэффициент, равный НОК(2, 4), то есть 4, и все буквенные множители. НОЗ = $ 4(a - b)(a - c) $.

Находим дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{4(a - b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} = 4 $.

Для второй дроби: $ \frac{4(a - b)(a - c)}{2(a - b)} = 2(a - c) $.

Для третьей дроби: $ \frac{4(a - b)(a - c)}{4(a - c)} = a - b $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a^2}{(a - b)(a - c)} = \frac{a^2 \cdot 4}{4(a - b)(a - c)} = \frac{4a^2}{4(a - b)(a - c)} $

$ \frac{b}{2(a - b)} = \frac{b \cdot 2(a - c)}{2(a - b) \cdot 2(a - c)} = \frac{2b(a - c)}{4(a - b)(a - c)} $

$ \frac{ab}{4(a - c)} = \frac{ab(a - b)}{4(a - c)(a - b)} = \frac{ab(a - b)}{4(a - b)(a - c)} $

Ответ: $ \frac{4a^2}{4(a - b)(a - c)} $, $ \frac{2b(a - c)}{4(a - b)(a - c)} $ и $ \frac{ab(a - b)}{4(a - b)(a - c)} $.

49. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) $ \frac{3a}{3a-2} $, $ \frac{a}{9a+6} $ и $ \frac{a^2}{9a^2b - 4b} $;

2) $ \frac{1}{a-5b} $, $ \frac{1}{a^2+7ac} $ и $ \frac{1}{a^2+7ac-5ab-35bc} $.

Для того чтобы привести дроби $ \frac{3a}{3a-2} $, $ \frac{a}{9a+6} $ и $ \frac{a^2}{9a^2b - 4b} $ к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ).

1. Разложим знаменатели данных дробей на множители:

• Знаменатель первой дроби $ 3a-2 $ уже является простым выражением.
• Знаменатель второй дроби: $ 9a+6 = 3(3a+2) $.
• Знаменатель третьей дроби: $ 9a^2b - 4b = b(9a^2-4) $. Применим формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ к выражению $ 9a^2-4 = (3a)^2 - 2^2 $. Получим: $ b(3a-2)(3a+2) $.

Итак, знаменатели в разложенном виде: $ (3a-2) $, $ 3(3a+2) $, $ b(3a-2)(3a+2) $.

2. Найдем наименьший общий знаменатель. Он равен произведению всех уникальных множителей в их наивысших степенях.

НОЗ = $ 3 \cdot b \cdot (3a-2) \cdot (3a+2) = 3b(9a^2-4) $.

3. Определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель соответствующей дроби:

• Для дроби $ \frac{3a}{3a-2} $ дополнительный множитель: $ \frac{3b(3a-2)(3a+2)}{3a-2} = 3b(3a+2) $.
• Для дроби $ \frac{a}{9a+6} $ дополнительный множитель: $ \frac{3b(3a-2)(3a+2)}{3(3a+2)} = b(3a-2) $.
• Для дроби $ \frac{a^2}{9a^2b-4b} $ дополнительный множитель: $ \frac{3b(3a-2)(3a+2)}{b(3a-2)(3a+2)} = 3 $.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

• $ \frac{3a}{3a-2} = \frac{3a \cdot 3b(3a+2)}{3b(3a-2)(3a+2)} = \frac{9ab(3a+2)}{3b(9a^2-4)} = \frac{27a^2b+18ab}{3b(9a^2-4)} $
• $ \frac{a}{9a+6} = \frac{a \cdot b(3a-2)}{3b(3a+2)(3a-2)} = \frac{ab(3a-2)}{3b(9a^2-4)} = \frac{3a^2b-2ab}{3b(9a^2-4)} $
• $ \frac{a^2}{9a^2b-4b} = \frac{a^2 \cdot 3}{3b(9a^2-4)} = \frac{3a^2}{3b(9a^2-4)} $

Ответ: $ \frac{27a^2b+18ab}{3b(9a^2-4)}, \frac{3a^2b-2ab}{3b(9a^2-4)}, \frac{3a^2}{3b(9a^2-4)} $.

Даны дроби $ \frac{1}{a-5b} $, $ \frac{1}{a^2+7ac} $ и $ \frac{1}{a^2 + 7ac - 5ab - 35bc} $.

1. Разложим знаменатели на множители:

• Знаменатель первой дроби $ a-5b $ уже является простым выражением.
• Знаменатель второй дроби: $ a^2+7ac = a(a+7c) $.
• Знаменатель третьей дроби разложим методом группировки:
  $ a^2 + 7ac - 5ab - 35bc = (a^2 + 7ac) - (5ab + 35bc) = a(a+7c) - 5b(a+7c) = (a-5b)(a+7c) $.

Итак, знаменатели в разложенном виде: $ (a-5b) $, $ a(a+7c) $, $ (a-5b)(a+7c) $.

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ):

НОЗ = $ a \cdot (a-5b) \cdot (a+7c) $.

3. Определим дополнительные множители для каждой дроби:

• Для дроби $ \frac{1}{a-5b} $ дополнительный множитель: $ \frac{a(a-5b)(a+7c)}{a-5b} = a(a+7c) $.
• Для дроби $ \frac{1}{a^2+7ac} $ дополнительный множитель: $ \frac{a(a-5b)(a+7c)}{a(a+7c)} = a-5b $.
• Для дроби $ \frac{1}{(a-5b)(a+7c)} $ дополнительный множитель: $ \frac{a(a-5b)(a+7c)}{(a-5b)(a+7c)} = a $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

• $ \frac{1}{a-5b} = \frac{1 \cdot a(a+7c)}{a(a-5b)(a+7c)} = \frac{a^2+7ac}{a(a-5b)(a+7c)} $
• $ \frac{1}{a^2+7ac} = \frac{1 \cdot (a-5b)}{a(a+7c)(a-5b)} = \frac{a-5b}{a(a-5b)(a+7c)} $
• $ \frac{1}{a^2 + 7ac - 5ab - 35bc} = \frac{1 \cdot a}{a(a-5b)(a+7c)} = \frac{a}{a(a-5b)(a+7c)} $

Ответ: $ \frac{a^2+7ac}{a(a-5b)(a+7c)}, \frac{a-5b}{a(a-5b)(a+7c)}, \frac{a}{a(a-5b)(a+7c)} $.

50. Найдите значение выражения $\frac{2xy - y^2}{3xy + x^2}$, если $\frac{x}{y} = 2.$

Для решения этой задачи воспользуемся данным в условии соотношением $\frac{x}{y} = 2$.

Из этого соотношения мы можем выразить переменную $x$ через $y$:

Следует отметить, что из условия следует, что $y \neq 0$, так как деление на ноль не определено.

Теперь подставим выражение $x = 2y$ в исходную дробь $\frac{2xy - y^2}{3xy + x^2}$:

Упростим числитель и знаменатель, выполнив умножение и возведение в степень:

Приведем подобные слагаемые в числителе и знаменателе:

Поскольку мы установили, что $y \neq 0$, то и $y^2 \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $y^2$:

Таким образом, значение выражения равно 0.3.

Ответ: $0.3$.

51. Найдите значение выражения $\frac{4a^2 - ab}{ab + 14b^2}$, если $\frac{a}{b} = 5$.

Для того чтобы найти значение данного выражения, можно использовать два способа.

Способ 1: Преобразование выражения

Заметим, что данное выражение является однородным, то есть степень каждого слагаемого в числителе и знаменателе одинакова (равна 2). Это позволяет нам преобразовать выражение так, чтобы оно зависело только от отношения $\frac{a}{b}$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $b^2$. Это действие возможно, поскольку из условия $\frac{a}{b} = 5$ следует, что $b \neq 0$.

$\frac{4a^2 - ab}{ab + 14b^2} = \frac{\frac{4a^2 - ab}{b^2}}{\frac{ab + 14b^2}{b^2}} = \frac{\frac{4a^2}{b^2} - \frac{ab}{b^2}}{\frac{ab}{b^2} + \frac{14b^2}{b^2}}$

Упростим полученные дроби, сокращая $b$ и $b^2$:

$\frac{4(\frac{a}{b})^2 - \frac{a}{b}}{\frac{a}{b} + 14}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\frac{a}{b} = 5$:

$\frac{4(5)^2 - 5}{5 + 14} = \frac{4 \cdot 25 - 5}{19} = \frac{100 - 5}{19} = \frac{95}{19} = 5$

Способ 2: Подстановка

Из условия $\frac{a}{b} = 5$ выразим переменную $a$ через $b$:

$a = 5b$

Подставим это выражение для $a$ в исходную дробь:

$\frac{4(5b)^2 - (5b)b}{(5b)b + 14b^2}$

Выполним преобразования:

$\frac{4(25b^2) - 5b^2}{5b^2 + 14b^2} = \frac{100b^2 - 5b^2}{19b^2} = \frac{95b^2}{19b^2}$

Поскольку $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b^2$:

$\frac{95}{19} = 5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 5

52. Известно, что $2a - 6b = 1$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{8}{a - 3b}$;

2) $\frac{a^2 - 9b^2}{0.5a + 1.5b}$.

1)

По условию задачи нам дано равенство $2a - 6b = 1$.
Найдем значение выражения $\frac{8}{a-3b}$.
Преобразуем левую часть данного нам равенства, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$2(a - 3b) = 1$
Из этого равенства выразим значение $a - 3b$:
$a - 3b = \frac{1}{2}$
Теперь подставим полученное значение в выражение, которое нам нужно найти:
$\frac{8}{a - 3b} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16

2)

Найдем значение выражения $\frac{a^2 - 9b^2}{0,5a + 1,5b}$.
Сначала упростим числитель дроби, применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$
Теперь упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель 0,5:
$0,5a + 1,5b = 0,5(a + 3b)$
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{0,5(a + 3b)}$
Сократим дробь на $(a + 3b)$:
$\frac{a - 3b}{0,5}$
Из решения первого пункта мы знаем, что $a - 3b = \frac{1}{2}$ или $0,5$.
Подставим это значение в наше упрощенное выражение:
$\frac{0,5}{0,5} = 1$

Ответ: 1