Страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

64. Какое наименьшее значение и при каких значениях $a$ и $b$ принимает выражение $(a - 2)(a + 2) + 4b(b - a)$?

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения и значения переменных, при которых оно достигается, преобразуем данное выражение.

Исходное выражение: $(a - 2)(a + 2) + 4b(b - a)$.

Сначала раскроем скобки. Первый член $(a - 2)(a + 2)$ является формулой разности квадратов, а во втором члене $4b(b - a)$ выполним умножение:

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

$4b(b - a) = 4b^2 - 4ab$

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(a^2 - 4) + (4b^2 - 4ab) = a^2 - 4ab + 4b^2 - 4$.

Сгруппируем члены этого выражения, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на группу слагаемых $a^2 - 4ab + 4b^2$. Она представляет собой полный квадрат разности:

$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$.

Таким образом, все выражение можно переписать в следующем виде:

$(a - 2b)^2 - 4$.

Теперь проанализируем полученное выражение. Слагаемое $(a - 2b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю:

$(a - 2b)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять $(a - 2b)^2$, равно 0. Это минимальное значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю:

$a - 2b = 0 \implies a = 2b$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения достигается при условии $a = 2b$ и равно:

$E_{min} = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно $-4$. Оно принимается при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a = 2b$.

65. Расстояние от села Вишнёвое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишнёвое до станции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причём скорость автомобиля на $12 \text{ км/ч}$ больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса и скорость легкового автомобиля.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — это скорость автобуса.

Согласно условию, скорость легкового автомобиля на 12 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 12)$ км/ч.

Переведем время движения из минут в часы для согласованности единиц измерения. Скорость измеряется в км/ч, поэтому время тоже должно быть в часах.

Время, за которое автобус доезжает от села Вишнёвое до станции, составляет 45 минут. В часах это $t_{авт} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа.

Время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 минут больше, чем время автобуса: $45 + 5 = 50$ минут. В часах это $t_{лек} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ часа.

Теперь, используя основную формулу движения $S = v \cdot t$ (расстояние равно скорости, умноженной на время), выразим расстояния для каждого транспортного средства.

Расстояние от села Вишнёвое до станции (путь автобуса): $S_{В} = v_{авт} \cdot t_{авт} = x \cdot \frac{3}{4} = \frac{3x}{4}$ км.

Расстояние от села Яблоневое до станции (путь автомобиля): $S_{Я} = v_{лек} \cdot t_{лек} = (x + 12) \cdot \frac{5}{6}$ км.

Из условия задачи известно, что расстояние от села Вишнёвое до станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Это можно записать в виде уравнения:

$S_{Я} - S_{В} = 14$

Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для расстояний:

$\frac{5(x+12)}{6} - \frac{3x}{4} = 14$

Теперь решим это линейное уравнение. Для удобства избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \left( \frac{5(x+12)}{6} \right) - 12 \cdot \left( \frac{3x}{4} \right) = 12 \cdot 14$

$2 \cdot 5(x+12) - 3 \cdot 3x = 168$

$10(x+12) - 9x = 168$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10x + 120 - 9x = 168$

$x + 120 = 168$

Перенесем 120 в правую часть уравнения:

$x = 168 - 120$

$x = 48$

За $x$ мы принимали скорость автобуса, следовательно, скорость автобуса составляет 48 км/ч.

Найдем скорость легкового автомобиля:

$v_{лек} = x + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса равна 48 км/ч, а скорость легкового автомобиля — 60 км/ч.

66. Выполните действия:

1) $\frac{7}{18} + \frac{5}{18}$;

2) $\frac{9}{16} + \frac{7}{16}$;

3) $\frac{23}{32} - \frac{15}{32}$;

4) $4 - 1\frac{3}{11}$.

1) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Полученную дробь следует сократить, если это возможно.

$\frac{7}{18} + \frac{5}{18} = \frac{7+5}{18} = \frac{12}{18}$

Теперь сократим дробь $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для числителя 12 и знаменателя 18 равен 6. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) Выполняем сложение по тому же правилу: складываем числители, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{9}{16} + \frac{7}{16} = \frac{9+7}{16} = \frac{16}{16}$

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.

$\frac{16}{16} = 1$

Ответ: $1$

3) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если возможно, сократить результат.

$\frac{23}{32} - \frac{15}{32} = \frac{23-15}{32} = \frac{8}{32}$

Сократим дробь $\frac{8}{32}$. Наибольший общий делитель для 8 и 32 равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{8 \div 8}{32 \div 8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

4) Чтобы вычесть смешанное число из целого, представим целое число в виде смешанного числа с таким же дробным знаменателем. Для этого "займем" единицу у целой части и представим ее в виде дроби.

Представим число 4 как $3+1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 11: $1 = \frac{11}{11}$.

$4 = 3 + \frac{11}{11} = 3\frac{11}{11}$

Теперь выполним вычитание. Вычитаем целые части и дробные части по отдельности.

$4 - 1\frac{3}{11} = 3\frac{11}{11} - 1\frac{3}{11} = (3-1) + (\frac{11}{11} - \frac{3}{11}) = 2 + \frac{11-3}{11} = 2 + \frac{8}{11} = 2\frac{8}{11}$

Ответ: $2\frac{8}{11}$

67. На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата.

Пусть на сторонах квадрата последовательно (например, по часовой стрелке) записаны четыре натуральных числа: $a, b, c, d$.

Согласно условию, в каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел на сторонах, для которых эта вершина является общей. Таким образом, в четырех вершинах будут записаны числа: $ab, bc, cd, da$.

Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Составим уравнение:

$ab + bc + cd + da = 55$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы разложить ее на множители:

$(ab + bc) + (cd + da) = 55$

$b(a + c) + d(c + a) = 55$

Вынесем общий множитель $(a+c)$ за скобки:

$(a + c)(b + d) = 55$

По условию задачи, $a, b, c$ и $d$ — натуральные числа, то есть целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Следовательно, их суммы $(a+c)$ и $(b+d)$ также являются целыми числами. Поскольку наименьшее натуральное число — это 1, то минимальное значение для каждой из этих сумм равно $1+1=2$. Таким образом, мы имеем условия:

$a+c \ge 2$

$b+d \ge 2$

Теперь нам нужно разложить число 55 на два целых множителя, каждый из которых не меньше 2. Разложим 55 на все возможные пары целых положительных множителей: $55 = 1 \cdot 55 = 5 \cdot 11$.

Пара множителей (1, 55) не удовлетворяет нашим условиям, так как один из множителей (1) меньше 2. Единственной подходящей парой является (5, 11).

Это означает, что множители $(a+c)$ и $(b+d)$ равны 5 и 11. Возможны два случая:

1. $a+c=5$ и $b+d=11$

2. $a+c=11$ и $b+d=5$

В задаче требуется найти сумму чисел, записанных на сторонах квадрата, то есть величину $S = a+b+c+d$.

Перегруппировав слагаемые, получаем: $S = (a+c) + (b+d)$.

Вне зависимости от того, какой из случаев реализуется, сумма $(a+c) + (b+d)$ будет одинаковой:

$S = 5 + 11 = 16$

Таким образом, искомая сумма чисел, записанных на сторонах квадрата, равна 16.

Ответ: 16