Страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

39. Приведите дробь:

1) $\frac{a}{a + 2}$ к знаменателю $4a + 8$;

2) $\frac{m}{m - 3n}$ к знаменателю $m^2 - 9n^2$;

3) $\frac{x}{2x - y}$ к знаменателю $7y - 14x$;

4) $\frac{5b}{2a + 3b}$ к знаменателю $4a^2 + 12ab + 9b^2$;

5) $\frac{x + 1}{x^2 + x + 1}$ к знаменателю $x^3 - 1$.

1) Чтобы привести дробь $ \frac{a}{a+2} $ к знаменателю $ 4a+8 $, найдем дополнительный множитель. Для этого разложим новый знаменатель на множители: $ 4a+8 = 4(a+2) $. Дополнительный множитель равен частному от деления нового знаменателя на исходный: $ \frac{4(a+2)}{a+2} = 4 $. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 4:
$ \frac{a \cdot 4}{(a+2) \cdot 4} = \frac{4a}{4a+8} $.

Ответ: $ \frac{4a}{4a+8} $

2) Чтобы привести дробь $ \frac{m}{m-3n} $ к знаменателю $ m^2-9n^2 $, разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $ m^2-9n^2 = (m-3n)(m+3n) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{(m-3n)(m+3n)}{m-3n} = m+3n $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (m+3n) $:
$ \frac{m \cdot (m+3n)}{(m-3n) \cdot (m+3n)} = \frac{m^2+3mn}{m^2-9n^2} $.

Ответ: $ \frac{m^2+3mn}{m^2-9n^2} $

3) Чтобы привести дробь $ \frac{x}{2x-y} $ к знаменателю $ 7y-14x $, разложим новый знаменатель на множители: $ 7y-14x = 7(y-2x) $. Заметим, что $ y-2x = -(2x-y) $, поэтому $ 7(y-2x) = -7(2x-y) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{-7(2x-y)}{2x-y} = -7 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на -7:
$ \frac{x \cdot (-7)}{(2x-y) \cdot (-7)} = \frac{-7x}{-14x+7y} = \frac{-7x}{7y-14x} $.

Ответ: $ \frac{-7x}{7y-14x} $

4) Чтобы привести дробь $ \frac{5b}{2a+3b} $ к знаменателю $ 4a^2+12ab+9b^2 $, разложим новый знаменатель по формуле квадрата суммы: $ 4a^2+12ab+9b^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2 = (2a+3b)^2 $. Дополнительный множитель равен $ \frac{(2a+3b)^2}{2a+3b} = 2a+3b $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (2a+3b) $:
$ \frac{5b \cdot (2a+3b)}{(2a+3b) \cdot (2a+3b)} = \frac{10ab+15b^2}{(2a+3b)^2} = \frac{10ab+15b^2}{4a^2+12ab+9b^2} $.

Ответ: $ \frac{10ab+15b^2}{4a^2+12ab+9b^2} $

5) Чтобы привести дробь $ \frac{x+1}{x^2+x+1} $ к знаменателю $ x^3-1 $, разложим новый знаменатель по формуле разности кубов: $ x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = x-1 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (x-1) $. В числителе получим разность квадратов:
$ \frac{(x+1) \cdot (x-1)}{(x^2+x+1) \cdot (x-1)} = \frac{x^2-1^2}{x^3-1} = \frac{x^2-1}{x^3-1} $.

Ответ: $ \frac{x^2-1}{x^3-1} $

40. Представьте выражение $x - 5y$ в виде дроби со знаменателем:

1) 2;

2) $x$;

3) $4y^3$;

4) $x^2 - 25y^2$.

Чтобы представить выражение в виде дроби с заданным знаменателем, нужно это выражение, представленное в виде дроби со знаменателем 1, умножить на дополнительный множитель, равный требуемому знаменателю. То есть, чтобы представить выражение $A$ в виде дроби со знаменателем $B$, мы выполняем следующее преобразование: $A = \frac{A}{1} = \frac{A \cdot B}{B}$.

1) 2;

Чтобы представить выражение $x-5y$ в виде дроби со знаменателем 2, нужно умножить и разделить его на 2.

Запишем исходное выражение как дробь со знаменателем 1: $x-5y = \frac{x-5y}{1}$.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 2:

$\frac{x-5y}{1} = \frac{(x-5y) \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{2(x-5y)}{2}$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$2(x-5y) = 2x - 10y$

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{2x - 10y}{2}$.

Ответ: $\frac{2x - 10y}{2}$

2) x;

Чтобы представить выражение $x-5y$ в виде дроби со знаменателем $x$, нужно умножить и разделить его на $x$.

$\frac{x-5y}{1} = \frac{(x-5y) \cdot x}{1 \cdot x} = \frac{x(x-5y)}{x}$

Раскроем скобки в числителе:

$x(x-5y) = x \cdot x - x \cdot 5y = x^2 - 5xy$

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{x^2 - 5xy}{x}$.

Ответ: $\frac{x^2 - 5xy}{x}$

3) 4y³;

Чтобы представить выражение $x-5y$ в виде дроби со знаменателем $4y^3$, нужно умножить и разделить его на $4y^3$.

$\frac{x-5y}{1} = \frac{(x-5y) \cdot 4y^3}{1 \cdot 4y^3} = \frac{4y^3(x-5y)}{4y^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$4y^3(x-5y) = 4y^3 \cdot x - 4y^3 \cdot 5y = 4xy^3 - 20y^4$

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{4xy^3 - 20y^4}{4y^3}$.

Ответ: $\frac{4xy^3 - 20y^4}{4y^3}$

4) x² - 25y²;

Чтобы представить выражение $x-5y$ в виде дроби со знаменателем $x^2 - 25y^2$, нужно умножить и разделить его на $x^2 - 25y^2$.

$\frac{x-5y}{1} = \frac{(x-5y) \cdot (x^2 - 25y^2)}{1 \cdot (x^2 - 25y^2)} = \frac{(x-5y)(x^2 - 25y^2)}{x^2 - 25y^2}$

Теперь раскроем скобки в числителе, умножая каждый член многочлена $(x-5y)$ на многочлен $(x^2 - 25y^2)$:

$(x-5y)(x^2 - 25y^2) = x \cdot (x^2 - 25y^2) - 5y \cdot (x^2 - 25y^2) = x^3 - 25xy^2 - 5x^2y + 125y^3$

Запишем члены полученного многочлена в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $x$):

$x^3 - 5x^2y - 25xy^2 + 125y^3$

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{x^3 - 5x^2y - 25xy^2 + 125y^3}{x^2 - 25y^2}$.

Ответ: $\frac{x^3 - 5x^2y - 25xy^2 + 125y^3}{x^2 - 25y^2}$

41. Приведите дробь $\frac{6}{b-4}$ к знаменателю:

1) $5b - 20$;

2) $12 - 3b$;

3) $b^2 - 4b$;

4) $b^2 - 16$.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель, а затем умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби. Дополнительный множитель находится путем деления нового знаменателя на исходный.

Исходная дробь: $\frac{6}{b-4}$.

1) $5b - 20$

1. Найдем дополнительный множитель. Для этого сначала разложим новый знаменатель $5b - 20$ на множители: $5b - 20 = 5(b-4)$.

2. Разделим новый знаменатель на исходный: $\frac{5(b-4)}{b-4} = 5$. Дополнительный множитель равен 5.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 5:

$\frac{6}{b-4} = \frac{6 \cdot 5}{(b-4) \cdot 5} = \frac{30}{5b - 20}$

Ответ: $\frac{30}{5b - 20}$

2) $12 - 3b$

1. Найдем дополнительный множитель. Разложим новый знаменатель $12 - 3b$ на множители: $12 - 3b = -3(b - 4)$.

2. Разделим новый знаменатель на исходный: $\frac{-3(b-4)}{b-4} = -3$. Дополнительный множитель равен -3.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на -3:

$\frac{6}{b-4} = \frac{6 \cdot (-3)}{(b-4) \cdot (-3)} = \frac{-18}{-3b + 12} = \frac{-18}{12 - 3b}$

Ответ: $\frac{-18}{12 - 3b}$

3) $b^2 - 4b$

1. Найдем дополнительный множитель. Разложим новый знаменатель $b^2 - 4b$ на множители: $b^2 - 4b = b(b-4)$.

2. Разделим новый знаменатель на исходный: $\frac{b(b-4)}{b-4} = b$. Дополнительный множитель равен $b$.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $b$:

$\frac{6}{b-4} = \frac{6 \cdot b}{(b-4) \cdot b} = \frac{6b}{b^2 - 4b}$

Ответ: $\frac{6b}{b^2 - 4b}$

4) $b^2 - 16$

1. Найдем дополнительный множитель. Разложим новый знаменатель $b^2 - 16$ на множители по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$: $b^2 - 16 = b^2 - 4^2 = (b-4)(b+4)$.

2. Разделим новый знаменатель на исходный: $\frac{(b-4)(b+4)}{b-4} = b+4$. Дополнительный множитель равен $(b+4)$.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $(b+4)$:

$\frac{6}{b-4} = \frac{6 \cdot (b+4)}{(b-4) \cdot (b+4)} = \frac{6b + 24}{b^2 - 16}$

Ответ: $\frac{6b + 24}{b^2 - 16}$

42. Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) $ \frac{1}{8ab} $ и $ \frac{1}{2a^3} $;

2) $ \frac{3x}{7m^3n^3} $ и $ \frac{4y}{3m^2n^4} $;

3) $ \frac{a+b}{a-b} $ и $ \frac{2}{a^2-b^2} $;

4) $ \frac{3d}{m-n} $ и $ \frac{8p}{(m-n)^2} $;

5) $ \frac{x}{2x+1} $ и $ \frac{x}{3x-2} $;

6) $ \frac{a-b}{3a+3b} $ и $ \frac{a}{a^2-b^2} $;

7) $ \frac{3a}{4a-4} $ и $ \frac{2a}{5-5a} $;

8) $ \frac{7a}{b-3} $ и $ \frac{c}{9-b^2} $;

1) Даны дроби $\frac{1}{8ab}$ и $\frac{1}{2a^3}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $8ab$ и $2a^3$.

НОК коэффициентов 8 и 2 равно 8.

НОК переменных частей $ab$ и $a^3$ равно $a^3b$ (берем каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях).

Следовательно, общий знаменатель равен $8a^3b$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для первой дроби $\frac{1}{8ab}$ дополнительный множитель: $\frac{8a^3b}{8ab} = a^2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $a^2$: $\frac{1}{8ab} = \frac{1 \cdot a^2}{8ab \cdot a^2} = \frac{a^2}{8a^3b}$.

Для второй дроби $\frac{1}{2a^3}$ дополнительный множитель: $\frac{8a^3b}{2a^3} = 4b$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $4b$: $\frac{1}{2a^3} = \frac{1 \cdot 4b}{2a^3 \cdot 4b} = \frac{4b}{8a^3b}$.

Ответ: $\frac{a^2}{8a^3b}$ и $\frac{4b}{8a^3b}$.

2) Даны дроби $\frac{3x}{7m^3n^3}$ и $\frac{4y}{3m^2n^4}$.

Найдем НОК знаменателей $7m^3n^3$ и $3m^2n^4$.

НОК коэффициентов 7 и 3 равно $7 \cdot 3 = 21$.

НОК переменных частей $m^3n^3$ и $m^2n^4$ равно $m^3n^4$.

Общий знаменатель: $21m^3n^4$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{21m^3n^4}{7m^3n^3} = 3n$.

$\frac{3x}{7m^3n^3} = \frac{3x \cdot 3n}{7m^3n^3 \cdot 3n} = \frac{9xn}{21m^3n^4}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{21m^3n^4}{3m^2n^4} = 7m$.

$\frac{4y}{3m^2n^4} = \frac{4y \cdot 7m}{3m^2n^4 \cdot 7m} = \frac{28my}{21m^3n^4}$.

Ответ: $\frac{9xn}{21m^3n^4}$ и $\frac{28my}{21m^3n^4}$.

3) Даны дроби $\frac{a+b}{a-b}$ и $\frac{2}{a^2-b^2}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Знаменатели: $a-b$ и $(a-b)(a+b)$.

Общий знаменатель: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$.

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$.

Знаменатель второй дроби уже является общим, поэтому она не изменяется.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$ и $\frac{2}{a^2-b^2}$.

4) Даны дроби $\frac{3d}{m-n}$ и $\frac{8p}{(m-n)^2}$.

Знаменатели: $m-n$ и $(m-n)^2$.

Общий знаменатель — это $(m-n)^2$, так как это наименьшее общее кратное.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(m-n)^2}{m-n} = m-n$.

$\frac{3d}{m-n} = \frac{3d(m-n)}{(m-n)(m-n)} = \frac{3d(m-n)}{(m-n)^2}$.

Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{3d(m-n)}{(m-n)^2}$ и $\frac{8p}{(m-n)^2}$.

5) Даны дроби $\frac{x}{2x+1}$ и $\frac{x}{3x-2}$.

Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ являются взаимно простыми.

Общий знаменатель равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3x-2$.

$\frac{x}{2x+1} = \frac{x(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3x^2-2x}{(2x+1)(3x-2)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $2x+1$.

$\frac{x}{3x-2} = \frac{x(2x+1)}{(3x-2)(2x+1)} = \frac{2x^2+x}{(2x+1)(3x-2)}$.

Ответ: $\frac{3x^2-2x}{(2x+1)(3x-2)}$ и $\frac{2x^2+x}{(2x+1)(3x-2)}$.

6) Даны дроби $\frac{a-b}{3a+3b}$ и $\frac{a}{a^2-b^2}$.

Разложим знаменатели на множители:

$3a+3b = 3(a+b)$.

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Общий знаменатель: $3(a+b)(a-b) = 3(a^2-b^2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3(a+b)(a-b)}{3(a+b)} = a-b$.

$\frac{a-b}{3(a+b)} = \frac{(a-b)(a-b)}{3(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{3(a^2-b^2)}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3(a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = 3$.

$\frac{a}{a^2-b^2} = \frac{a \cdot 3}{3(a^2-b^2)} = \frac{3a}{3(a^2-b^2)}$.

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{3(a^2-b^2)}$ и $\frac{3a}{3(a^2-b^2)}$.

7) Даны дроби $\frac{3a}{4a-4}$ и $\frac{2a}{5-5a}$.

Разложим знаменатели на множители:

$4a-4 = 4(a-1)$.

$5-5a = 5(1-a) = -5(a-1)$.

Общий знаменатель: НОК(4, 5) $\cdot (a-1) = 20(a-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{20(a-1)}{4(a-1)} = 5$.

$\frac{3a}{4(a-1)} = \frac{3a \cdot 5}{4(a-1) \cdot 5} = \frac{15a}{20(a-1)}$.

Для второй дроби $\frac{2a}{-5(a-1)}$ дополнительный множитель: $\frac{20(a-1)}{-5(a-1)} = -4$.

$\frac{2a}{-5(a-1)} = \frac{2a \cdot (-4)}{-5(a-1) \cdot (-4)} = \frac{-8a}{20(a-1)}$.

Ответ: $\frac{15a}{20(a-1)}$ и $\frac{-8a}{20(a-1)}$.

8) Даны дроби $\frac{7a}{b-3}$ и $\frac{c}{9-b^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $9-b^2 = (3-b)(3+b)$.

Заметим, что $b-3 = -(3-b)$.

Общий знаменатель: $(3-b)(3+b) = 9-b^2$.

Преобразуем первую дробь, чтобы ее знаменатель содержал множитель $(3-b)$:

$\frac{7a}{b-3} = \frac{7a}{-(3-b)} = \frac{-7a}{3-b}$.

Дополнительный множитель для преобразованной первой дроби: $\frac{(3-b)(3+b)}{3-b} = 3+b$.

$\frac{-7a}{3-b} = \frac{-7a(3+b)}{(3-b)(3+b)} = \frac{-7a(3+b)}{9-b^2}$.

Вторая дробь $\frac{c}{9-b^2}$ уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $\frac{-7a(3+b)}{9-b^2}$ и $\frac{c}{9-b^2}$.

43. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$;

2) $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$;

3) $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$;

4) $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$;

5) $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$;

6) $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$;

7) $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$;

8) $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$.

1) Даны дроби $\frac{4}{15x^2y^2}$ и $\frac{1}{10x^3y}$.
Знаменатели дробей: $15x^2y^2$ и $10x^3y$.
Чтобы найти общий знаменатель, найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов и возьмем переменные в наивысшей степени.
НОК(15, 10) = 30.
Наивысшая степень для $x$ — это $x^3$.
Наивысшая степень для $y$ — это $y^2$.
Следовательно, общий знаменатель: $30x^3y^2$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $\frac{30x^3y^2}{15x^2y^2} = 2x$.
$\frac{4}{15x^2y^2} = \frac{4 \cdot 2x}{15x^2y^2 \cdot 2x} = \frac{8x}{30x^3y^2}$.
Для второй дроби: $\frac{30x^3y^2}{10x^3y} = 3y$.
$\frac{1}{10x^3y} = \frac{1 \cdot 3y}{10x^3y \cdot 3y} = \frac{3y}{30x^3y^2}$.
Ответ: $\frac{8x}{30x^3y^2}$ и $\frac{3y}{30x^3y^2}$.

2) Даны дроби $\frac{c}{6a^4b^5}$ и $\frac{d}{9ab^2}$.
Знаменатели дробей: $6a^4b^5$ и $9ab^2$.
НОК(6, 9) = 18.
Наивысшая степень для $a$ — это $a^4$.
Наивысшая степень для $b$ — это $b^5$.
Общий знаменатель: $18a^4b^5$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{18a^4b^5}{6a^4b^5} = 3$.
$\frac{c}{6a^4b^5} = \frac{c \cdot 3}{6a^4b^5 \cdot 3} = \frac{3c}{18a^4b^5}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{18a^4b^5}{9ab^2} = 2a^{4-1}b^{5-2} = 2a^3b^3$.
$\frac{d}{9ab^2} = \frac{d \cdot 2a^3b^3}{9ab^2 \cdot 2a^3b^3} = \frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$.
Ответ: $\frac{3c}{18a^4b^5}$ и $\frac{2a^3b^3d}{18a^4b^5}$.

3) Даны дроби $\frac{x}{y-5}$ и $\frac{z}{y^2-25}$.
Разложим знаменатели на множители. Второй знаменатель — это разность квадратов: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$.
Знаменатели: $y-5$ и $(y-5)(y+5)$.
Общий знаменатель: $(y-5)(y+5) = y^2-25$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(y-5)(y+5)}{y-5} = y+5$.
$\frac{x}{y-5} = \frac{x(y+5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{xy+5x}{y^2-25}$.
Вторая дробь уже приведена к общему знаменателю, ее дополнительный множитель равен 1.
Ответ: $\frac{xy+5x}{y^2-25}$ и $\frac{z}{y^2-25}$.

4) Даны дроби $\frac{m+n}{m^2-mn}$ и $\frac{2m-3n}{m^2-n^2}$.
Разложим знаменатели на множители:
$m^2-mn = m(m-n)$.
$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Общий знаменатель: $m(m-n)(m+n)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{m(m-n)(m+n)}{m(m-n)} = m+n$.
$\frac{m+n}{m(m-n)} = \frac{(m+n)(m+n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{m(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m(m^2-n^2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{m(m-n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} = m$.
$\frac{2m-3n}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(2m-3n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{2m^2-3mn}{m(m^2-n^2)}$.
Ответ: $\frac{m^2+2mn+n^2}{m(m-n)(m+n)}$ и $\frac{2m^2-3mn}{m(m-n)(m+n)}$.

5) Даны дроби $\frac{x+1}{x^2-xy}$ и $\frac{y-1}{xy-y^2}$.
Разложим знаменатели на множители, вынося общий множитель за скобки:
$x^2-xy = x(x-y)$.
$xy-y^2 = y(x-y)$.
Общий знаменатель: $xy(x-y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xy(x-y)}{x(x-y)} = y$.
$\frac{x+1}{x(x-y)} = \frac{y(x+1)}{xy(x-y)} = \frac{xy+y}{xy(x-y)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy(x-y)}{y(x-y)} = x$.
$\frac{y-1}{y(x-y)} = \frac{x(y-1)}{xy(x-y)} = \frac{xy-x}{xy(x-y)}$.
Ответ: $\frac{xy+y}{xy(x-y)}$ и $\frac{xy-x}{xy(x-y)}$.

6) Даны дроби $\frac{6a}{a-2b}$ и $\frac{3a}{a+b}$.
Знаменатели $a-2b$ и $a+b$ являются простыми многочленами и не имеют общих множителей.
Общий знаменатель равен их произведению: $(a-2b)(a+b)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $a+b$.
$\frac{6a}{a-2b} = \frac{6a(a+b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{6a^2+6ab}{a^2+ab-2ab-2b^2} = \frac{6a^2+6ab}{a^2-ab-2b^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $a-2b$.
$\frac{3a}{a+b} = \frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{3a^2-6ab}{a^2-ab-2b^2}$.
Ответ: $\frac{6a^2+6ab}{(a-2b)(a+b)}$ и $\frac{3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)}$.

7) Даны дроби $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{c}{4-c}$.
Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — разность квадратов: $c^2-16 = (c-4)(c+4)$.
Второй знаменатель: $4-c = -(c-4)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус в числитель: $\frac{c}{4-c} = \frac{c}{-(c-4)} = \frac{-c}{c-4}$.
Теперь знаменатели: $(c-4)(c+4)$ и $c-4$.
Общий знаменатель: $(c-4)(c+4) = c^2-16$.
Первая дробь уже приведена к общему знаменателю.
Дополнительный множитель для второй дроби: $c+4$.
$\frac{-c}{c-4} = \frac{-c(c+4)}{(c-4)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{c^2-16}$.
Ответ: $\frac{1+c^2}{c^2-16}$ и $\frac{-c^2-4c}{c^2-16}$.

8) Даны дроби $\frac{2m+9}{m^2+5m+25}$ и $\frac{m}{m-5}$.
Знаменатель первой дроби $m^2+5m+25$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители с действительными корнями. Он является частью формулы разности кубов: $m^3-5^3 = (m-5)(m^2+5m+25)$.
Знаменатели: $m^2+5m+25$ и $m-5$.
Общий знаменатель: $(m-5)(m^2+5m+25) = m^3-125$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $m-5$.
$\frac{2m+9}{m^2+5m+25} = \frac{(2m+9)(m-5)}{(m-5)(m^2+5m+25)} = \frac{2m^2-10m+9m-45}{m^3-125} = \frac{2m^2-m-45}{m^3-125}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $m^2+5m+25$.
$\frac{m}{m-5} = \frac{m(m^2+5m+25)}{(m-5)(m^2+5m+25)} = \frac{m^3+5m^2+25m}{m^3-125}$.
Ответ: $\frac{2m^2-m-45}{m^3-125}$ и $\frac{m^3+5m^2+25m}{m^3-125}$.

44. Сократите дробь:

1) $ \frac{(3a + 3b)^2}{a + b} $;

2) $ \frac{(6x - 18y)^2}{x^2 - 9y^2} $;

3) $ \frac{xy + x - 5y - 5}{4y + 4} $;

4) $ \frac{a^2 - ab + 2b - 2a}{a^2 - 4a + 4} $.

1) $\frac{(3a + 3b)^2}{a + b}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$(3a + 3b)^2 = (3(a + b))^2$

Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получим:

$(3(a + b))^2 = 3^2 (a + b)^2 = 9(a + b)^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{9(a + b)^2}{a + b}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$:

$\frac{9(a + b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a + b}} = 9(a + b)$

Ответ: $9(a + b)$.

2) $\frac{(6x - 18y)^2}{x^2 - 9y^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель 6 за скобки:

$(6x - 18y)^2 = (6(x - 3y))^2 = 6^2 (x - 3y)^2 = 36(x - 3y)^2$

Знаменатель представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{36(x - 3y)^2}{(x - 3y)(x + 3y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - 3y)$:

$\frac{36(x - 3y)^{\cancel{2}}}{(\cancel{x - 3y})(x + 3y)} = \frac{36(x - 3y)}{x + 3y}$

Ответ: $\frac{36(x - 3y)}{x + 3y}$.

3) $\frac{xy + x - 5y - 5}{4y + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе применим метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемыми:

$(xy + x) + (-5y - 5)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y + 1) - 5(y + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 1)$:

$(y + 1)(x - 5)$

В знаменателе вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4y + 4 = 4(y + 1)$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(y + 1)(x - 5)}{4(y + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y + 1)$:

$\frac{\cancel{(y + 1)}(x - 5)}{4\cancel{(y + 1)}} = \frac{x - 5}{4}$

Ответ: $\frac{x - 5}{4}$.

4) $\frac{a^2 - ab + 2b - 2a}{a^2 - 4a + 4}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$(a^2 - 2a) + (-ab + 2b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - 2) - b(a - 2)$

Вынесем общий множитель $(a - 2)$:

$(a - 2)(a - b)$

Знаменатель представляет собой квадрат разности по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$:

$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(a - 2)(a - b)}{(a - 2)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{\cancel{(a - 2)}(a - b)}{(a - 2)^{\cancel{2}}} = \frac{a - b}{a - 2}$

Ответ: $\frac{a - b}{a - 2}$.