Страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

53. Найдите значение выражения $\frac{2m - 1,5n}{32m^2 - 18n^2}$, если $4m + 3n = 8.$

Чтобы найти значение выражения $\frac{2m - 1.5n}{32m^2 - 18n^2}$, необходимо сначала его упростить, а затем использовать данное условие $4m + 3n = 8$.

Начнем с преобразования знаменателя дроби. Знаменатель равен $32m^2 - 18n^2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$32m^2 - 18n^2 = 2(16m^2 - 9n^2)$

Выражение в скобках, $16m^2 - 9n^2$, является разностью квадратов, поскольку $16m^2 = (4m)^2$ и $9n^2 = (3n)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, чтобы разложить его на множители:

$2(16m^2 - 9n^2) = 2(4m - 3n)(4m + 3n)$

Теперь преобразуем числитель дроби: $2m - 1.5n$. Вынесем за скобки множитель 0.5, чтобы получить выражение, которое можно будет сократить с одним из множителей в знаменателе:

$2m - 1.5n = 0.5(4m - 3n)$

Теперь, когда числитель и знаменатель упрощены, подставим их обратно в исходную дробь:

$\frac{2m - 1.5n}{32m^2 - 18n^2} = \frac{0.5(4m - 3n)}{2(4m - 3n)(4m + 3n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(4m - 3n)$.

$\frac{0.5}{2(4m + 3n)} = \frac{1}{2 \cdot 2(4m + 3n)} = \frac{1}{4(4m + 3n)}$

На заключительном этапе воспользуемся данным в условии равенством $4m + 3n = 8$ и подставим это значение в полученное нами выражение:

$\frac{1}{4(4m + 3n)} = \frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

54. Существует ли такое значение $a$, при котором дробь $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^3 + a^2 + a + 1}$

Для того чтобы алгебраическая дробь была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю.

1. Найдем значения $a$, при которых числитель равен нулю.

Приравняем числитель $a^3 - a^2 - a + 1$ к нулю:

$a^3 - a^2 - a + 1 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки слагаемых:

$a^2(a - 1) - 1(a - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a - 1)(a^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $a^2 - 1$:

$(a - 1)(a - 1)(a + 1) = 0$

$(a - 1)^2(a + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:

$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$

$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$

Итак, числитель обращается в ноль при $a=1$ и $a=-1$.

2. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденных значениях $a$.

Знаменатель дроби: $a^3 + a^2 + a + 1$.

Проверка для $a = 1$:

Подставим $a = 1$ в выражение для знаменателя:

$1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

Поскольку $4 \neq 0$, знаменатель не равен нулю. Значит, при $a=1$ дробь существует и ее значение равно $\frac{0}{4} = 0$.

Проверка для $a = -1$:

Подставим $a = -1$ в выражение для знаменателя:

$(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0$

Поскольку знаменатель равен нулю, при $a = -1$ дробь не определена (происходит деление на ноль).

Таким образом, мы нашли значение $a=1$, при котором числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, такое значение $a$ существует.

Ответ: Да, такое значение существует. При $a = 1$ дробь равна нулю.

принимает отрицательное значение.

55. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

2) $y = \frac{x - 3}{3 - x}$;

3) $y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 - 4x}{x}$;

4) $y = \frac{2}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}$.

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Теперь упростим выражение для функции. Числитель представляет собой разность квадратов $x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$:

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$

Так как $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = x - 2$

Графиком функции $y = x - 2$ является прямая линия. Однако, из-за ограничения ОДЗ, точка с абсциссой $x = -2$ должна быть исключена (выколота) из графика.

Найдем ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное уравнение:

$y = -2 - 2 = -4$

Таким образом, точка с координатами $(-2, -4)$ является выколотой.

Для построения графика найдем две любые точки, принадлежащие прямой $y = x-2$:

- при $x = 0$, $y = -2$; точка $(0, -2)$.

- при $x = 2$, $y = 0$; точка $(2, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки и отмечаем на ней выколотую точку $(-2, -4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

2) $y = \frac{x - 3}{3 - x}$

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Упростим функцию. Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки:

$y = \frac{x - 3}{-(x - 3)}$

При $x \neq 3$ можем сократить дробь на $(x-3)$:

$y = -1$

Графиком функции $y = -1$ является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, -1)$.

Учитывая ОДЗ, точка с абсциссой $x = 3$ должна быть выколота.

Координаты выколотой точки: $(3, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -1$ с выколотой точкой $(3, -1)$.

3) $y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 - 4x}{x}$

Найдем ОДЗ. Оба знаменателя не должны равняться нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x \neq 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первая дробь: числитель является полным квадратом $(x-5)^2$.

$\frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} = \frac{(x - 5)^2}{x - 5} = x - 5$ (при $x \neq 5$)

Вторая дробь: вынесем $2x$ за скобки в числителе.

$\frac{2x^2 - 4x}{x} = \frac{2x(x - 2)}{x} = 2(x - 2) = 2x - 4$ (при $x \neq 0$)

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (x - 5) - (2x - 4) = x - 5 - 2x + 4 = -x - 1$

Графиком функции $y = -x - 1$ является прямая линия.

Из-за ОДЗ на графике будут две выколотые точки: при $x = 0$ и $x = 5$.

Найдем их координаты:

- При $x = 0$, $y = -0 - 1 = -1$. Выколотая точка $(0, -1)$.

- При $x = 5$, $y = -5 - 1 = -6$. Выколотая точка $(5, -6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 1$ с выколотыми точками $(0, -1)$ и $(5, -6)$.

4) $y = \frac{2}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}$

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Упростим выражение. Так как мы вычитаем одинаковые дроби, результат равен нулю:

$y = 0$

Графиком функции $y = 0$ является ось абсцисс (ось Ox).

Учитывая ОДЗ, точка с абсциссой $x = -4$ должна быть выколота.

Координаты выколотой точки: $(-4, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 0$ (ось Ox) с выколотой точкой $(-4, 0)$.

56. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4}$;

2) $y = x - \frac{x}{x}$;

3) $y = \frac{x^2 - 3x}{x} - \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Заметим, что числитель $x^2 - 8x + 16$ является полным квадратом разности: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Подставив это в исходную функцию, получим: $y = \frac{(x-4)^2}{x-4}$.

При условии $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x-4)$ и получить $y = x - 4$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x - 4$, из которой удалена точка, абсцисса которой равна 4. Найдем координаты этой "выколотой" точки: если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Следовательно, точка $(4, 0)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой $y = x - 4$ найдем две точки, через которые она проходит, например: при $x = 0$, $y = -4$ (точка $(0, -4)$) и при $x = 5$, $y = 1$ (точка $(5, 1)$). Проводим через эти точки прямую и на ней отмечаем выколотую точку $(4, 0)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(4, 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x - \frac{x}{x}$.

Найдем область определения функции. В выражении есть дробь $\frac{x}{x}$, знаменатель которой не должен быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим функцию. При всех $x$ из области определения ($x \neq 0$) дробь $\frac{x}{x}$ равна 1.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x - 1$ при $x \neq 0$.

Графиком данной функции является прямая $y = x - 1$ с одной выколотой точкой. Найдем ее координаты. Абсцисса выколотой точки $x = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой: $y = 0 - 1 = -1$.

Следовательно, точка $(0, -1)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой $y = x - 1$ возьмем две точки, например: при $x = 1$, $y = 0$ (точка $(1, 0)$) и при $x = 2$, $y = 1$ (точка $(2, 1)$). Соединяем эти точки прямой и отмечаем на ней выколотую точку $(0, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(0, -1)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 3x}{x} - \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Найдем область определения функции. Знаменатели обеих дробей не должны равняться нулю:

1. $x \neq 0$.
2. $x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1\}$.

Упростим каждое слагаемое в выражении для $y$ на области определения:

Первое слагаемое: $\frac{x^2 - 3x}{x} = \frac{x(x - 3)}{x} = x - 3$.
Второе слагаемое: $\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1} = \frac{2(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (x - 3) - 2 = x - 5$.

Это равенство верно для всех $x$ из области определения. Следовательно, график исходной функции — это прямая $y = x - 5$, на которой выколоты три точки, соответствующие недопустимым значениям $x$.

Найдем координаты выколотых точек:

1. При $x = -1$: $y = -1 - 5 = -6$. Выколотая точка $(-1, -6)$.
2. При $x = 0$: $y = 0 - 5 = -5$. Выколотая точка $(0, -5)$.
3. При $x = 1$: $y = 1 - 5 = -4$. Выколотая точка $(1, -4)$.

Для построения прямой $y = x - 5$ найдем две точки, например: при $x=2$, $y = 2-5=-3$ (точка $(2,-3)$) и при $x=5$, $y=5-5=0$ (точка $(5,0)$). Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотые точки $(-1, -6)$, $(0, -5)$ и $(1, -4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотыми точками $(-1, -6)$, $(0, -5)$ и $(1, -4)$.

57. Постройте график функции:

1) $y = \frac{|x|}{x}$;

2) $y = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$.

1)

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = \frac{x}{x} = 1$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся от точки $(0, 1)$ (не включая ее) и идущий вправо.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = \frac{-x}{x} = -1$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся от точки $(0, -1)$ (не включая ее) и идущий влево.

Таким образом, график функции состоит из двух открытых лучей:

• $y = 1$ при $x > 0$;
• $y = -1$ при $x < 0$.

Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ на графике будут выколотыми (пустыми кружками), так как $x=0$ не входит в область определения функции.

Ответ: График функции представляет собой два луча: луч $y=1$ для $x \in (0, +\infty)$ и луч $y=-1$ для $x \in (-\infty, 0)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.$|x| - 1 \neq 0$, что означает $|x| \neq 1$.Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение для функции. Воспользуемся свойством четности квадратичной функции $x^2 = |x|^2$.$y = \frac{|x|^2 - 1}{|x| - 1}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$y = \frac{(|x| - 1)(|x| + 1)}{|x| - 1}$.

Так как из ОДЗ мы знаем, что $|x| - 1 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(|x| - 1)$:$y = |x| + 1$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = |x| + 1$ при условии, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

График функции $y = |x| + 1$ получается из графика $y = |x|$ (стандартная "галочка" с вершиной в начале координат) сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина этого графика будет в точке $(0, 1)$.

Теперь необходимо исключить из этого графика точки, не входящие в ОДЗ.

Найдем координаты выколотых точек:

• При $x = 1$: $y = |1| + 1 = 2$. Выколотая точка имеет координаты $(1, 2)$.
• При $x = -1$: $y = |-1| + 1 = 1 + 1 = 2$. Выколотая точка имеет координаты $(-1, 2)$.

Итак, график представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 1)$, состоящую из двух лучей, но с двумя "дырками" (выколотыми точками) в точках $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: График функции — это график функции $y = |x| + 1$ (V-образная линия с вершиной в точке $(0, 1)$) с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

58. Решите уравнение:

1) $\frac{x+1}{x+1} = 1;$

2) $\frac{x^2-25}{x-5} = 10;$

3) $\frac{x+6}{|x|-6} = 0.$

1) $\frac{x+1}{x+1} = 1$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Его левая часть определена только в том случае, если знаменатель не равен нулю. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ: $x+1 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq -1$.

При всех значениях $x$, которые входят в ОДЗ (то есть при $x \neq -1$), числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю. Это означает, что их отношение всегда равно 1. Таким образом, уравнение принимает вид $1=1$, что является верным равенством для всех допустимых $x$.

Следовательно, решением уравнения являются все действительные числа, за исключением $-1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) $\frac{x^2-25}{x-5} = 10$

Сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Числитель $x^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = 10$.

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 5$, то множитель $(x-5)$ не равен нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$x+5 = 10$.

Решаем полученное линейное уравнение:

$x = 10 - 5$;

$x = 5$.

Теперь необходимо сопоставить полученный корень с ОДЗ. Мы нашли, что $x=5$, однако ОДЗ требует, чтобы $x \neq 5$. Так как найденное значение не входит в область допустимых значений, оно не является корнем уравнения.

Ответ: нет решений.

3) $\frac{x+6}{|x|-6} = 0$

Дробное уравнение равно нулю в том и только в том случае, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x+6=0 \\ |x|-6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x+6=0 \implies x=-6$.

Это единственный кандидат в корни уравнения. Теперь проверим, удовлетворяет ли он второму условию, то есть не обращает ли он знаменатель в ноль.

Подставим $x=-6$ в выражение для знаменателя:

$|x|-6 = |-6|-6 = 6-6 = 0$.

Знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, значение $x=-6$ не является корнем уравнения. Так как других кандидатов в корни у нас не было, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

59. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8; $

2) $ \frac{|x| - 7}{x - 7} = 0. $

Дано уравнение $\frac{x^2 - 16}{x + 4} = -8$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$

Далее, упростим числитель, разложив его на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$\frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = -8$

Поскольку мы уже определили, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+4)$:
$x - 4 = -8$

Теперь решим получившееся простое линейное уравнение:
$x = -8 + 4$
$x = -4$

Однако, полученный результат $x = -4$ противоречит нашей области допустимых значений ($x \neq -4$). Это означает, что корень является посторонним. Следовательно, у исходного уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

Дано уравнение $\frac{|x| - 7}{x - 7} = 0$.

Дробное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе из уравнения и неравенства:
$\begin{cases} |x| - 7 = 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$|x| - 7 = 0$
$|x| = 7$
У этого уравнения есть два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Теперь проверим эти корни на соответствие второму условию системы (ОДЗ):
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$.

- Проверяем корень $x_1 = 7$. Он не удовлетворяет условию $x \neq 7$, поэтому это посторонний корень.
- Проверяем корень $x_2 = -7$. Он удовлетворяет условию $x \neq 7$ (поскольку $-7 \neq 7$).

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -7$.

Ответ: -7.

60. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $ax = 1;$

2) $ax = a;$

3) $(a - 6)x = a^2 - 12a + 36;$

4) $(a^2 - 4)x = a - 2.$

1)

Рассмотрим уравнение $ax = 1$. Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Его решение зависит от значения параметра $a$.

Случай 1: $a \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{a}$

Случай 2: $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в уравнение:

$0 \cdot x = 1$

$0 = 1$

Полученное равенство является неверным, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то $x = \frac{1}{a}$.

2)

Рассмотрим уравнение $ax = a$.

Случай 1: $a \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $a$:

$x = \frac{a}{a}$

$x = 1$

Случай 2: $a = 0$.

Подставим $a = 0$ в уравнение:

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Полученное равенство является верным для любого значения $x$.

Ответ: если $a = 0$, то $x$ - любое число; если $a \neq 0$, то $x = 1$.

3)

Рассмотрим уравнение $(a - 6)x = a^2 - 12a + 36$.

Заметим, что правая часть уравнения является полным квадратом: $a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(a - 6)x = (a - 6)^2$

Решение зависит от коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a - 6)$.

Случай 1: $a - 6 \neq 0$, то есть $a \neq 6$.

Разделим обе части уравнения на $(a - 6)$:

$x = \frac{(a-6)^2}{a-6}$

$x = a - 6$

Случай 2: $a - 6 = 0$, то есть $a = 6$.

Подставим $a = 6$ в уравнение:

$(6 - 6)x = (6 - 6)^2$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: если $a = 6$, то $x$ - любое число; если $a \neq 6$, то $x = a - 6$.

4)

Рассмотрим уравнение $(a^2 - 4)x = a - 2$.

Разложим на множители коэффициент при $x$, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Уравнение принимает вид:

$(a - 2)(a + 2)x = a - 2$

Решение зависит от коэффициента при $x$, который обращается в ноль при $a=2$ и $a=-2$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a^2 - 4 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a^2 - 4)$:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4} = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}$

Поскольку $a \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(a-2)$:

$x = \frac{1}{a + 2}$

Случай 2: $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в исходное уравнение:

$(2^2 - 4)x = 2 - 2$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$.

Случай 3: $a = -2$.

Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:

$((-2)^2 - 4)x = -2 - 2$

$(4 - 4)x = -4$

$0 \cdot x = -4$

$0 = -4$

Это равенство неверно, следовательно, при $a=-2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 2$, то $x$ - любое число; если $a = -2$, то корней нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.

61. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a+3)x = 3$;

2) $(a^2 - 9a)x = a^2 - 18a + 81$.

1) $(a+3)x = 3$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $kx = b$, где коэффициент при неизвестной $x$ равен $k = a+3$, а свободный член равен $b = 3$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$, который влияет на коэффициент $k$.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Если $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.

В этом случае, чтобы найти $x$, можно разделить обе части уравнения на выражение $(a+3)$, которое не равно нулю.

$x = \frac{3}{a+3}$

При $a \neq -3$ уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Если $a+3 = 0$, то есть $a = -3$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(-3+3)x = 3$

$0 \cdot x = 3$

$0 = 3$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы уравнению. Следовательно, при $a = -3$ уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $a = -3$, то корней нет; если $a \neq -3$, то $x = \frac{3}{a+3}$.

2) $(a^2 - 9a)x = a^2 - 18a + 81$

Это также линейное уравнение относительно $x$. Для анализа решения упростим его, разложив на множители левую и правую части.

Левая часть: $a^2 - 9a = a(a-9)$.

Правая часть: $a^2 - 18a + 81$ является полным квадратом разности $(a-9)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$a(a-9)x = (a-9)^2$

Решение зависит от коэффициента при $x$, который равен $a(a-9)$. Рассмотрим случаи, когда этот коэффициент равен нулю и когда не равен.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Если $a(a-9) \neq 0$, что выполняется при $a \neq 0$ и $a \neq 9$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a(a-9)$:

$x = \frac{(a-9)^2}{a(a-9)}$

Поскольку $a \neq 9$, то $a-9 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a-9)$:

$x = \frac{a-9}{a}$

При $a \neq 0$ и $a \neq 9$ уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, если $a(a-9) = 0$, то есть при $a=0$ или $a=9$. Рассмотрим каждый из этих подслучаев отдельно.

Подслучай 2.1: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в уравнение $a(a-9)x = (a-9)^2$:

$0(0-9)x = (0-9)^2$

$0 \cdot x = (-9)^2$

$0 = 81$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Подслучай 2.2: $a = 9$.

Подставим $a=9$ в уравнение $a(a-9)x = (a-9)^2$:

$9(9-9)x = (9-9)^2$

$9 \cdot 0 \cdot x = 0^2$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Получено верное равенство, которое истинно для любого значения $x$. Следовательно, при $a=9$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $a=0$, то корней нет; если $a=9$, то $x$ - любое число; если $a \neq 0$ и $a \neq 9$, то $x = \frac{a-9}{a}$.

62. Упростите выражение:

1) $(x + 2)(x - 9) - 3x(3 - 2x);$

2) $(a + 5)(a - 2) + (a + 4)(a - 5);$

3) $(y - 8)(2y + 1) - (3y + 1)(y - 6);$

4) $(2x - 3y)(2x + 3y) + (3x + 2y)(3x - 2y);$

5) $(x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3);$

6) $(y - 4)(y + 3) - (y - 6)^2.$

1) $(x + 2)(x - 9) - 3x(3 - 2x)$
Для упрощения выражения раскроем скобки. Сначала перемножим первые две скобки, используя правило умножения многочленов:
$(x + 2)(x - 9) = x \cdot x - 9 \cdot x + 2 \cdot x - 2 \cdot 9 = x^2 - 9x + 2x - 18 = x^2 - 7x - 18$
Затем раскроем вторые скобки, умножая одночлен на многочлен:
$-3x(3 - 2x) = -3x \cdot 3 - 3x \cdot (-2x) = -9x + 6x^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$(x^2 - 7x - 18) + (-9x + 6x^2) = x^2 - 7x - 18 - 9x + 6x^2$
Приведем подобные слагаемые, группируя члены с одинаковой степенью $x$:
$(x^2 + 6x^2) + (-7x - 9x) - 18 = 7x^2 - 16x - 18$
Ответ: $7x^2 - 16x - 18$

2) $(a + 5)(a - 2) + (a + 4)(a - 5)$
Раскроем каждую пару скобок путем перемножения многочленов:
$(a + 5)(a - 2) = a^2 - 2a + 5a - 10 = a^2 + 3a - 10$
$(a + 4)(a - 5) = a^2 - 5a + 4a - 20 = a^2 - a - 20$
Теперь сложим результаты:
$(a^2 + 3a - 10) + (a^2 - a - 20) = a^2 + 3a - 10 + a^2 - a - 20$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (3a - a) + (-10 - 20) = 2a^2 + 2a - 30$
Ответ: $2a^2 + 2a - 30$

3) $(y - 8)(2y + 1) - (3y + 1)(y - 6)$
Раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом:
$(y - 8)(2y + 1) = 2y^2 + y - 16y - 8 = 2y^2 - 15y - 8$
$(3y + 1)(y - 6) = 3y^2 - 18y + y - 6 = 3y^2 - 17y - 6$
Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$(2y^2 - 15y - 8) - (3y^2 - 17y - 6) = 2y^2 - 15y - 8 - 3y^2 + 17y + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(2y^2 - 3y^2) + (-15y + 17y) + (-8 + 6) = -y^2 + 2y - 2$
Ответ: $-y^2 + 2y - 2$

4) $(2x - 3y)(2x + 3y) + (3x + 2y)(3x - 2y)$
В обоих произведениях можно применить формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
Для первого произведения: $a = 2x, b = 3y$
$(2x - 3y)(2x + 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$
Для второго произведения: $a = 3x, b = 2y$
$(3x + 2y)(3x - 2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$(4x^2 - 9y^2) + (9x^2 - 4y^2) = 4x^2 - 9y^2 + 9x^2 - 4y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 + 9x^2) + (-9y^2 - 4y^2) = 13x^2 - 13y^2$
Ответ: $13x^2 - 13y^2$

5) $(x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3)$
Для первого слагаемого применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
Для второго произведения применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$
Теперь выполним вычитание:
$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 9) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 2x + (1 + 9) = 0 + 2x + 10 = 2x + 10$
Ответ: $2x + 10$

6) $(y - 4)(y + 3) - (y - 6)^2$
Раскроем первые скобки умножением многочленов:
$(y - 4)(y + 3) = y^2 + 3y - 4y - 12 = y^2 - y - 12$
Ко второму слагаемому применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(y - 6)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = y^2 - 12y + 36$
Теперь выполним вычитание:
$(y^2 - y - 12) - (y^2 - 12y + 36) = y^2 - y - 12 - y^2 + 12y - 36$
Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - y^2) + (-y + 12y) + (-12 - 36) = 0 + 11y - 48 = 11y - 48$
Ответ: $11y - 48$

63. Постройте график функции:

1) $y=2$;

2) $y=2x$;

3) $y=2x-1$.

1) y = 2;

Функция $y=2$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где коэффициент $k=0$ и $b=2$. Это частный случай, называемый постоянной функцией. Графиком такой функции является прямая линия.

Поскольку значение $y$ не зависит от $x$ и всегда равно 2, все точки на графике будут иметь ординату, равную 2. Например, для $x=0$ имеем $y=2$ (точка $(0, 2)$), а для $x=3$ имеем $y=2$ (точка $(3, 2)$).

Соединив эти точки, мы получим прямую, которая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$) и проходит через точку $(0, 2)$ на оси ординат (оси $Oy$).

Ответ: График функции $y=2$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$.

2) y = 2x;

Функция $y=2x$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=2$ и $b=0$. Такая функция называется прямой пропорциональностью, и ее график — это прямая, проходящая через начало координат.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Одна точка нам уже известна — это начало координат $(0, 0)$. Найдем вторую точку, взяв произвольное значение $x$, например, $x=1$:
$y = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, 2)$. Проведем через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$ прямую. Поскольку угловой коэффициент $k=2 > 0$, функция является возрастающей.

Ответ: График функции $y=2x$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, 2)$.

3) y = 2x - 1;

Функция $y = 2x - 1$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=2$ и $b=-1$. Графиком этой функции также является прямая линия.

Для построения прямой найдем координаты двух точек. Удобно найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Точка пересечения с осью ординат ($Oy$): для этого положим $x=0$.
$y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$.
Получили точку $(0, -1)$.

2. Точка пересечения с осью абсцисс ($Ox$): для этого положим $y=0$.
$0 = 2x - 1$
$2x = 1$
$x = 0.5$.
Получили точку $(0.5, 0)$.

Проведем прямую через точки $(0, -1)$ и $(0.5, 0)$. Можно также заметить, что график функции $y=2x-1$ параллелен графику $y=2x$, так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=2$, и сдвинут на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Ответ: График функции $y=2x-1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(0.5, 0)$.