Номер 62, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 62, страница 18.

Условие.

62. Упростите выражение:

1) $(x + 2)(x - 9) - 3x(3 - 2x);$

2) $(a + 5)(a - 2) + (a + 4)(a - 5);$

3) $(y - 8)(2y + 1) - (3y + 1)(y - 6);$

4) $(2x - 3y)(2x + 3y) + (3x + 2y)(3x - 2y);$

5) $(x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3);$

6) $(y - 4)(y + 3) - (y - 6)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x + 2)(x - 9) - 3x(3 - 2x)$
Для упрощения выражения раскроем скобки. Сначала перемножим первые две скобки, используя правило умножения многочленов:
$(x + 2)(x - 9) = x \cdot x - 9 \cdot x + 2 \cdot x - 2 \cdot 9 = x^2 - 9x + 2x - 18 = x^2 - 7x - 18$
Затем раскроем вторые скобки, умножая одночлен на многочлен:
$-3x(3 - 2x) = -3x \cdot 3 - 3x \cdot (-2x) = -9x + 6x^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$(x^2 - 7x - 18) + (-9x + 6x^2) = x^2 - 7x - 18 - 9x + 6x^2$
Приведем подобные слагаемые, группируя члены с одинаковой степенью $x$:
$(x^2 + 6x^2) + (-7x - 9x) - 18 = 7x^2 - 16x - 18$
Ответ: $7x^2 - 16x - 18$

2) $(a + 5)(a - 2) + (a + 4)(a - 5)$
Раскроем каждую пару скобок путем перемножения многочленов:
$(a + 5)(a - 2) = a^2 - 2a + 5a - 10 = a^2 + 3a - 10$
$(a + 4)(a - 5) = a^2 - 5a + 4a - 20 = a^2 - a - 20$
Теперь сложим результаты:
$(a^2 + 3a - 10) + (a^2 - a - 20) = a^2 + 3a - 10 + a^2 - a - 20$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (3a - a) + (-10 - 20) = 2a^2 + 2a - 30$
Ответ: $2a^2 + 2a - 30$

3) $(y - 8)(2y + 1) - (3y + 1)(y - 6)$
Раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом:
$(y - 8)(2y + 1) = 2y^2 + y - 16y - 8 = 2y^2 - 15y - 8$
$(3y + 1)(y - 6) = 3y^2 - 18y + y - 6 = 3y^2 - 17y - 6$
Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$(2y^2 - 15y - 8) - (3y^2 - 17y - 6) = 2y^2 - 15y - 8 - 3y^2 + 17y + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(2y^2 - 3y^2) + (-15y + 17y) + (-8 + 6) = -y^2 + 2y - 2$
Ответ: $-y^2 + 2y - 2$

4) $(2x - 3y)(2x + 3y) + (3x + 2y)(3x - 2y)$
В обоих произведениях можно применить формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
Для первого произведения: $a = 2x, b = 3y$
$(2x - 3y)(2x + 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$
Для второго произведения: $a = 3x, b = 2y$
$(3x + 2y)(3x - 2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$(4x^2 - 9y^2) + (9x^2 - 4y^2) = 4x^2 - 9y^2 + 9x^2 - 4y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 + 9x^2) + (-9y^2 - 4y^2) = 13x^2 - 13y^2$
Ответ: $13x^2 - 13y^2$

5) $(x + 1)^2 - (x - 3)(x + 3)$
Для первого слагаемого применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
Для второго произведения применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$
Теперь выполним вычитание:
$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 9) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 2x + (1 + 9) = 0 + 2x + 10 = 2x + 10$
Ответ: $2x + 10$

6) $(y - 4)(y + 3) - (y - 6)^2$
Раскроем первые скобки умножением многочленов:
$(y - 4)(y + 3) = y^2 + 3y - 4y - 12 = y^2 - y - 12$
Ко второму слагаемому применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(y - 6)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = y^2 - 12y + 36$
Теперь выполним вычитание:
$(y^2 - y - 12) - (y^2 - 12y + 36) = y^2 - y - 12 - y^2 + 12y - 36$
Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - y^2) + (-y + 12y) + (-12 - 36) = 0 + 11y - 48 = 11y - 48$
Ответ: $11y - 48$