Номер 65, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 65, страница 19.

Условие.

65. Расстояние от села Вишнёвое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишнёвое до станции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причём скорость автомобиля на $12 \text{ км/ч}$ больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса и скорость легкового автомобиля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — это скорость автобуса.

Согласно условию, скорость легкового автомобиля на 12 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 12)$ км/ч.

Переведем время движения из минут в часы для согласованности единиц измерения. Скорость измеряется в км/ч, поэтому время тоже должно быть в часах.

Время, за которое автобус доезжает от села Вишнёвое до станции, составляет 45 минут. В часах это $t_{авт} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа.

Время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 минут больше, чем время автобуса: $45 + 5 = 50$ минут. В часах это $t_{лек} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ часа.

Теперь, используя основную формулу движения $S = v \cdot t$ (расстояние равно скорости, умноженной на время), выразим расстояния для каждого транспортного средства.

Расстояние от села Вишнёвое до станции (путь автобуса): $S_{В} = v_{авт} \cdot t_{авт} = x \cdot \frac{3}{4} = \frac{3x}{4}$ км.

Расстояние от села Яблоневое до станции (путь автомобиля): $S_{Я} = v_{лек} \cdot t_{лек} = (x + 12) \cdot \frac{5}{6}$ км.

Из условия задачи известно, что расстояние от села Вишнёвое до станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Это можно записать в виде уравнения:

$S_{Я} - S_{В} = 14$

Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для расстояний:

$\frac{5(x+12)}{6} - \frac{3x}{4} = 14$

Теперь решим это линейное уравнение. Для удобства избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \left( \frac{5(x+12)}{6} \right) - 12 \cdot \left( \frac{3x}{4} \right) = 12 \cdot 14$

$2 \cdot 5(x+12) - 3 \cdot 3x = 168$

$10(x+12) - 9x = 168$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10x + 120 - 9x = 168$

$x + 120 = 168$

Перенесем 120 в правую часть уравнения:

$x = 168 - 120$

$x = 48$

За $x$ мы принимали скорость автобуса, следовательно, скорость автобуса составляет 48 км/ч.

Найдем скорость легкового автомобиля:

$v_{лек} = x + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса равна 48 км/ч, а скорость легкового автомобиля — 60 км/ч.