Номер 61, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 61, страница 18.

Условие.

61. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a+3)x = 3$;

2) $(a^2 - 9a)x = a^2 - 18a + 81$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(a+3)x = 3$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $kx = b$, где коэффициент при неизвестной $x$ равен $k = a+3$, а свободный член равен $b = 3$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$, который влияет на коэффициент $k$.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Если $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.

В этом случае, чтобы найти $x$, можно разделить обе части уравнения на выражение $(a+3)$, которое не равно нулю.

$x = \frac{3}{a+3}$

При $a \neq -3$ уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Если $a+3 = 0$, то есть $a = -3$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(-3+3)x = 3$

$0 \cdot x = 3$

$0 = 3$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое удовлетворяло бы уравнению. Следовательно, при $a = -3$ уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $a = -3$, то корней нет; если $a \neq -3$, то $x = \frac{3}{a+3}$.

2) $(a^2 - 9a)x = a^2 - 18a + 81$

Это также линейное уравнение относительно $x$. Для анализа решения упростим его, разложив на множители левую и правую части.

Левая часть: $a^2 - 9a = a(a-9)$.

Правая часть: $a^2 - 18a + 81$ является полным квадратом разности $(a-9)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$a(a-9)x = (a-9)^2$

Решение зависит от коэффициента при $x$, который равен $a(a-9)$. Рассмотрим случаи, когда этот коэффициент равен нулю и когда не равен.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Если $a(a-9) \neq 0$, что выполняется при $a \neq 0$ и $a \neq 9$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a(a-9)$:

$x = \frac{(a-9)^2}{a(a-9)}$

Поскольку $a \neq 9$, то $a-9 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a-9)$:

$x = \frac{a-9}{a}$

При $a \neq 0$ и $a \neq 9$ уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, если $a(a-9) = 0$, то есть при $a=0$ или $a=9$. Рассмотрим каждый из этих подслучаев отдельно.

Подслучай 2.1: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в уравнение $a(a-9)x = (a-9)^2$:

$0(0-9)x = (0-9)^2$

$0 \cdot x = (-9)^2$

$0 = 81$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Подслучай 2.2: $a = 9$.

Подставим $a=9$ в уравнение $a(a-9)x = (a-9)^2$:

$9(9-9)x = (9-9)^2$

$9 \cdot 0 \cdot x = 0^2$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Получено верное равенство, которое истинно для любого значения $x$. Следовательно, при $a=9$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $a=0$, то корней нет; если $a=9$, то $x$ - любое число; если $a \neq 0$ и $a \neq 9$, то $x = \frac{a-9}{a}$.