Номер 56, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 56, страница 18.

Условие.

56. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4}$;

2) $y = x - \frac{x}{x}$;

3) $y = \frac{x^2 - 3x}{x} - \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 8x + 16}{x - 4}$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Заметим, что числитель $x^2 - 8x + 16$ является полным квадратом разности: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Подставив это в исходную функцию, получим: $y = \frac{(x-4)^2}{x-4}$.

При условии $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x-4)$ и получить $y = x - 4$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x - 4$, из которой удалена точка, абсцисса которой равна 4. Найдем координаты этой "выколотой" точки: если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Следовательно, точка $(4, 0)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой $y = x - 4$ найдем две точки, через которые она проходит, например: при $x = 0$, $y = -4$ (точка $(0, -4)$) и при $x = 5$, $y = 1$ (точка $(5, 1)$). Проводим через эти точки прямую и на ней отмечаем выколотую точку $(4, 0)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(4, 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x - \frac{x}{x}$.

Найдем область определения функции. В выражении есть дробь $\frac{x}{x}$, знаменатель которой не должен быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим функцию. При всех $x$ из области определения ($x \neq 0$) дробь $\frac{x}{x}$ равна 1.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x - 1$ при $x \neq 0$.

Графиком данной функции является прямая $y = x - 1$ с одной выколотой точкой. Найдем ее координаты. Абсцисса выколотой точки $x = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой: $y = 0 - 1 = -1$.

Следовательно, точка $(0, -1)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой $y = x - 1$ возьмем две точки, например: при $x = 1$, $y = 0$ (точка $(1, 0)$) и при $x = 2$, $y = 1$ (точка $(2, 1)$). Соединяем эти точки прямой и отмечаем на ней выколотую точку $(0, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(0, -1)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 3x}{x} - \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1}$.

Найдем область определения функции. Знаменатели обеих дробей не должны равняться нулю:

1. $x \neq 0$.
2. $x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1\}$.

Упростим каждое слагаемое в выражении для $y$ на области определения:

Первое слагаемое: $\frac{x^2 - 3x}{x} = \frac{x(x - 3)}{x} = x - 3$.
Второе слагаемое: $\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1} = \frac{2(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (x - 3) - 2 = x - 5$.

Это равенство верно для всех $x$ из области определения. Следовательно, график исходной функции — это прямая $y = x - 5$, на которой выколоты три точки, соответствующие недопустимым значениям $x$.

Найдем координаты выколотых точек:

1. При $x = -1$: $y = -1 - 5 = -6$. Выколотая точка $(-1, -6)$.
2. При $x = 0$: $y = 0 - 5 = -5$. Выколотая точка $(0, -5)$.
3. При $x = 1$: $y = 1 - 5 = -4$. Выколотая точка $(1, -4)$.

Для построения прямой $y = x - 5$ найдем две точки, например: при $x=2$, $y = 2-5=-3$ (точка $(2,-3)$) и при $x=5$, $y=5-5=0$ (точка $(5,0)$). Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотые точки $(-1, -6)$, $(0, -5)$ и $(1, -4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотыми точками $(-1, -6)$, $(0, -5)$ и $(1, -4)$.