Номер 57, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 57, страница 18.

Условие.

57. Постройте график функции:

1) $y = \frac{|x|}{x}$;

2) $y = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:$y = \frac{x}{x} = 1$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся от точки $(0, 1)$ (не включая ее) и идущий вправо.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:$y = \frac{-x}{x} = -1$.Это луч, параллельный оси Ox, начинающийся от точки $(0, -1)$ (не включая ее) и идущий влево.

Таким образом, график функции состоит из двух открытых лучей:

• $y = 1$ при $x > 0$;
• $y = -1$ при $x < 0$.

Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ на графике будут выколотыми (пустыми кружками), так как $x=0$ не входит в область определения функции.

Ответ: График функции представляет собой два луча: луч $y=1$ для $x \in (0, +\infty)$ и луч $y=-1$ для $x \in (-\infty, 0)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.$|x| - 1 \neq 0$, что означает $|x| \neq 1$.Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение для функции. Воспользуемся свойством четности квадратичной функции $x^2 = |x|^2$.$y = \frac{|x|^2 - 1}{|x| - 1}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$y = \frac{(|x| - 1)(|x| + 1)}{|x| - 1}$.

Так как из ОДЗ мы знаем, что $|x| - 1 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(|x| - 1)$:$y = |x| + 1$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = |x| + 1$ при условии, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

График функции $y = |x| + 1$ получается из графика $y = |x|$ (стандартная "галочка" с вершиной в начале координат) сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина этого графика будет в точке $(0, 1)$.

Теперь необходимо исключить из этого графика точки, не входящие в ОДЗ.

Найдем координаты выколотых точек:

• При $x = 1$: $y = |1| + 1 = 2$. Выколотая точка имеет координаты $(1, 2)$.
• При $x = -1$: $y = |-1| + 1 = 1 + 1 = 2$. Выколотая точка имеет координаты $(-1, 2)$.

Итак, график представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 1)$, состоящую из двух лучей, но с двумя "дырками" (выколотыми точками) в точках $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: График функции — это график функции $y = |x| + 1$ (V-образная линия с вершиной в точке $(0, 1)$) с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.