Номер 37, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 37, страница 15.

Условие.

37. Сократите дробь:

1) $ \frac{a - b}{2(b - a)}; $

2) $ \frac{3x - 6y}{4y - 2x}; $

3) $ \frac{m^2 - 5mn}{15n - 3m}; $

4) $ \frac{7a^4 - a^3b}{b^4 - 7ab^3}; $

5) $ \frac{x^2 - 25}{5x^2 - x^3}; $

6) $ \frac{y^2 - 12y + 36}{36 - y^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Исходная дробь: $ \frac{a - b}{2(b - a)} $.
Чтобы сократить дробь, нужно найти общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что выражения $ a - b $ и $ b - a $ отличаются только знаком. Можно вынести $ -1 $ за скобки в знаменателе: $ b - a = -(a - b) $.
Подставим это в знаменатель дроби:
$ \frac{a - b}{2(b - a)} = \frac{a - b}{2 \cdot (-(a - b))} = \frac{a - b}{-2(a - b)} $.
Теперь мы можем сократить общий множитель $ (a - b) $, при условии, что $ a - b \neq 0 $, то есть $ a \neq b $.
$ \frac{1 \cdot (a - b)}{-2 \cdot (a - b)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

2)
Исходная дробь: $ \frac{3x - 6y}{4y - 2x} $.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель равен 3: $ 3x - 6y = 3(x - 2y) $.
В знаменателе общий множитель равен 2: $ 4y - 2x = 2(2y - x) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{3(x - 2y)}{2(2y - x)} $.
Заметим, что $ 2y - x = -(x - 2y) $. Подставим это в знаменатель:
$ \frac{3(x - 2y)}{2 \cdot (-(x - 2y))} = \frac{3(x - 2y)}{-2(x - 2y)} $.
Сократим общий множитель $ (x - 2y) $, при условии, что $ x - 2y \neq 0 $, то есть $ x \neq 2y $.
$ \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3}{2} $

3)
Исходная дробь: $ \frac{m^2 - 5mn}{15n - 3m} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки $ m $: $ m^2 - 5mn = m(m - 5n) $.
В знаменателе вынесем за скобки $ 3 $: $ 15n - 3m = 3(5n - m) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{m(m - 5n)}{3(5n - m)} $.
Выражения в скобках отличаются знаком: $ 5n - m = -(m - 5n) $.
$ \frac{m(m - 5n)}{3 \cdot (-(m - 5n))} = \frac{m(m - 5n)}{-3(m - 5n)} $.
Сократим на $ (m - 5n) $, при условии, что $ m - 5n \neq 0 $, то есть $ m \neq 5n $.
$ \frac{m}{-3} = -\frac{m}{3} $.
Ответ: $ -\frac{m}{3} $

4)
Исходная дробь: $ \frac{7a^4 - a^3b}{b^4 - 7ab^3} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a^3 $: $ 7a^4 - a^3b = a^3(7a - b) $.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ b^3 $: $ b^4 - 7ab^3 = b^3(b - 7a) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{a^3(7a - b)}{b^3(b - 7a)} $.
Заметим, что $ b - 7a = -(7a - b) $.
$ \frac{a^3(7a - b)}{b^3 \cdot (-(7a - b))} = \frac{a^3(7a - b)}{-b^3(7a - b)} $.
Сократим на $ (7a - b) $, при условии, что $ 7a - b \neq 0 $, то есть $ 7a \neq b $.
$ \frac{a^3}{-b^3} = -\frac{a^3}{b^3} $.
Ответ: $ -\frac{a^3}{b^3} $

5)
Исходная дробь: $ \frac{x^2 - 25}{5x^2 - x^3} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является разностью квадратов: $ x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) $.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ x^2 $: $ 5x^2 - x^3 = x^2(5 - x) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(x - 5)(x + 5)}{x^2(5 - x)} $.
Заметим, что $ 5 - x = -(x - 5) $.
$ \frac{(x - 5)(x + 5)}{x^2 \cdot (-(x - 5))} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{-x^2(x - 5)} $.
Сократим на $ (x - 5) $, при условии, что $ x - 5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Также из знаменателя следует, что $ x \neq 0 $.
$ \frac{x + 5}{-x^2} = -\frac{x + 5}{x^2} $.
Ответ: $ -\frac{x + 5}{x^2} $

6)
Исходная дробь: $ \frac{y^2 - 12y + 36}{36 - y^2} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является полным квадратом разности: $ y^2 - 12y + 36 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = (y - 6)^2 $.
Знаменатель является разностью квадратов: $ 36 - y^2 = 6^2 - y^2 = (6 - y)(6 + y) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(y - 6)^2}{(6 - y)(6 + y)} $.
Заметим, что $ 6 - y = -(y - 6) $.
$ \frac{(y - 6)(y - 6)}{-(y - 6)(y + 6)} $.
Сократим на $ (y - 6) $, при условии, что $ y - 6 \neq 0 $, то есть $ y \neq 6 $. Также из знаменателя следует, что $ y \neq -6 $.
$ \frac{y - 6}{-(y + 6)} = -\frac{y - 6}{y + 6} $.
Ответ: $ -\frac{y - 6}{y + 6} $