Страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чем отличаются дробные выражения от целых?

1. Основное различие между целыми и дробными алгебраическими выражениями заключается в наличии или отсутствии операции деления на выражение, содержащее переменную.

Целые выражения — это выражения, которые не содержат деления на переменную. Они состоят из чисел и переменных, связанных операциями сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Деление на число (константу), отличное от нуля, также допускается в целых выражениях.
Примеры целых выражений: $7x^2 - 2xy$, $a(a+b) - 15$, $\frac{c+d}{5}$. Последнее выражение является целым, так как деление выполняется на число 5, а не на переменную.

Дробные выражения — это выражения, которые содержат операцию деления на переменную или на выражение с переменной. Иными словами, это дроби, в знаменателе которых есть переменная.
Примеры дробных выражений: $\frac{12}{x}$, $\frac{a+b}{a-b}$, $5y + \frac{y-1}{y^2+3}$.

Это ключевое различие имеет важное следствие, касающееся области допустимых значений (ОДЗ) выражения. Для целых выражений переменные могут принимать любые числовые значения (если нет других ограничений, например, извлечения корня четной степени). Для дробных выражений необходимо исключать из ОДЗ те значения переменных, при которых их знаменатель обращается в нуль, поскольку деление на ноль является неопределенной операцией. Например, для выражения $\frac{12}{x}$ недопустимо значение $x=0$, а для выражения $\frac{a+b}{a-b}$ недопустимо, чтобы $a=b$.

Ответ: Дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменной, а целые выражения такой операции не содержат.

2. Как вместе называют целые и дробные выражения?

В математике алгебраические выражения, которые состоят из чисел и переменных, соединенных знаками арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в натуральную степень, принято делить на два основных вида: целые и дробные.

Целые выражения — это такие выражения, которые не содержат операции деления на выражение с переменной. По сути, это многочлены. Например, выражения $7x^2 - 2xy + 1$, $a^3 + b^3$, или просто число $15$ являются целыми.

Дробные выражения — это выражения, которые, наоборот, содержат деление на выражение с переменной. Например, $\frac{a+b}{c}$, $x + \frac{1}{x}$ или $\frac{y-3}{y^2+1}$ являются дробными.

Общим названием для целых и дробных выражений является термин рациональные выражения. Таким образом, любое рациональное выражение можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены. Если знаменатель $Q$ является числом (не равным нулю), то выражение считается целым. Если же знаменатель $Q$ содержит переменную, то выражение является дробным.

Ответ: Рациональные выражения.

3. Какие значения переменных называют допустимыми?

Допустимыми значениями переменных (также их называют областью допустимых значений или ОДЗ) в математическом выражении, уравнении или неравенстве называют множество всех значений, которые могут принимать эти переменные, чтобы данное выражение имело смысл.

Простыми словами, это те числа, которые можно подставить вместо переменной, и при этом все математические действия в выражении будут выполнимы. Ограничения на значения переменных возникают из-за того, что некоторые математические операции определены не для всех чисел.

Рассмотрим основные случаи, когда возникают ограничения:

1. Деление на ноль. Если в выражении есть дробь, её знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Пример: В выражении $\frac{a+5}{a-2}$ знаменатель не может быть равен нулю.
$a-2 \neq 0$
$a \neq 2$
Таким образом, допустимыми значениями для переменной a являются любые числа, кроме 2.

2. Извлечение корня чётной степени. Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (например, квадратного $\sqrt{\phantom{x}}$), должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю).
Пример: В выражении $\sqrt{x-4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x-4 \ge 0$
$x \ge 4$
Допустимыми значениями для переменной x являются все числа, большие или равные 4.

Если в одном выражении встречается несколько ограничений, то область допустимых значений должна удовлетворять им всем одновременно.

Комбинированный пример: Найти ОДЗ для выражения $\frac{\sqrt{c}}{c-9}$.
Здесь два ограничения:

• Из-за корня в числителе: $c \ge 0$.
• Из-за знаменателя: $c-9 \neq 0$, то есть $c \neq 9$.

Совмещая оба условия, получаем, что допустимыми являются все неотрицательные числа, кроме 9. Это можно записать в виде интервала: $c \in [0; 9) \cup (9; +\infty)$.

Ответ: Допустимыми значениями переменных называют множество всех таких значений переменных, при подстановке которых в выражение оно не теряет своего математического смысла (например, не возникает деления на ноль или извлечения квадратного корня из отрицательного числа).

4. Какие дроби называют рациональными?

Рациональной дробью (также называют рациональным выражением или алгебраической дробью) называют выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены. При этом многочлен $Q$, находящийся в знаменателе, не должен быть нулевым многочленом (то есть, $Q \neq 0$).

По своей сути, это аналог обыкновенной числовой дроби, но в мире многочленов. Если в обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ числитель $m$ и знаменатель $n$ являются целыми числами ($n \neq 0$), то в рациональной дроби их роль выполняют многочлены.

Все рациональные выражения можно условно разделить на две категории:

1. Целые выражения — это рациональные выражения, которые не содержат операции деления на выражение с переменной. Любой многочлен (например, $x^2 - 5x + 6$) является целым выражением, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Сюда же относятся дроби, у которых знаменатель является числом, отличным от нуля (например, $\frac{a+b}{4}$).

2. Дробные выражения — это рациональные выражения, в которых присутствует деление на многочлен, содержащий переменные. Например: $\frac{x}{x-2}$, $\frac{y+7}{a^2+1}$, $\frac{m-n}{m+n}$. Для таких выражений необходимо учитывать область допустимых значений переменных, при которых знаменатель не обращается в ноль.

Важно отличать рациональные выражения от иррациональных, которые содержат переменные под знаком корня (например, $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$), или трансцендентных, где переменная стоит в показателе степени (например, $5^x-1$).

Ответ: Рациональными дробями называют дроби, числителем и знаменателем которых являются многочлены, причём знаменатель не является нулевым многочленом.

5. Отдельным видом каких выражений являются рациональные дроби?

Рациональные дроби являются отдельным видом рациональных выражений.

В курсе алгебры под рациональными выражениями понимают математические выражения, которые составлены из чисел, переменных и скобок при помощи арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Сами рациональные выражения принято делить на два вида:

• Целые выражения — это выражения, которые не содержат операции деления на переменную или на выражение с переменной. Фактически, это многочлены. Примеры: $7a^2 - b$, $x(y+z)$, $15$.
• Дробные выражения — это выражения, которые, кроме прочих операций, содержат деление на переменную или на выражение с переменной. Рациональная дробь вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены и $B$ не является нулевым многочленом, является ключевым примером дробного выражения. Примеры: $\frac{x+y}{x-y}$, $a + \frac{c}{d^2-1}$.

Следовательно, любая рациональная дробь является дробным выражением, а все дробные и целые выражения вместе образуют класс рациональных выражений.

Ответ: Рациональные дроби являются отдельным видом рациональных выражений (точнее, их подмножеством — дробными рациональными выражениями).

6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби?

По определению, рациональная дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причём $Q$ не является нулевым многочленом.

Ключевое ограничение для любой дроби (и для операции деления в целом) заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю. Если бы знаменатель был равен нулю, операция деления потеряла бы смысл.

Рассмотрим, что такое многочлен. Многочлен — это выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, включающее только операции сложения, вычитания, умножения и возведения в неотрицательную целую степень. Например, $x^2+3x-4$, $5$, $y+z$.

Среди всех многочленов есть один особый случай — это многочлен, тождественно равный нулю (его также называют нуль-многочленом). Это многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. Он записывается просто как $0$ и его значение равно нулю при любых значениях переменных.

Если мы попытаемся использовать этот многочлен в качестве знаменателя $Q$, мы получим выражение вида $\frac{P}{0}$, что является недопустимым в математике.

Любой другой, не равный тождественно нулю многочлен, может быть знаменателем. Например, в дроби $\frac{x}{x-5}$ знаменатель $x-5$ является многочленом. Он обращается в ноль при $x=5$, поэтому область определения этой дроби — все числа, кроме $5$. Однако сам многочлен $x-5$ не является тождественно равным нулю. Даже многочлен-константа, например $7$, может быть знаменателем: $\frac{x^2}{7}$. Этот знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, единственный многочлен, который не может выступать в роли знаменателя рациональной дроби, — это многочлен, тождественно равный нулю.

Ответ: Многочлен, тождественно равный нулю (нуль-многочлен).

1. Какие из выражений $ \frac{3a^2}{4b^3}, \frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}, \frac{8}{6n+1}, 3a - \frac{b^2}{c^4}, \frac{t^2 - 6t + 15}{2t}, \frac{x-2}{x+2}, -\frac{1}{6}m^3n^5, (y-4)^3 + \frac{1}{y}, \frac{m^2 - 3mn}{18} $ являются:

1) целыми выражениями;

2) дробными выражениями;

3) рациональными дробями?

Для классификации данных алгебраических выражений необходимо определить, содержат ли они операцию деления на переменную.

• Целые выражения — это выражения, которые не содержат деления на переменную. Они состоят из чисел и переменных, соединенных операциями сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, не равное нулю.
• Дробные выражения — это выражения, которые содержат операцию деления на выражение с переменной.
• Рациональные дроби — это частный случай дробных выражений, имеющий вид дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ не является нулевым многочленом.

Проанализируем каждое выражение из списка:

• $\frac{3a^2}{4b^3}$ — содержит деление на переменную $b$. Это дробное выражение, а также рациональная дробь.
• $\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}$ — не содержит деления на переменную. Это целое выражение.
• $\frac{8}{6n+1}$ — содержит деление на переменную $n$. Это дробное выражение и рациональная дробь.
• $3a - \frac{b^2}{c^4}$ — содержит деление на переменную $c$. Это дробное выражение.
• $\frac{t^2 - 6t + 15}{2t}$ — содержит деление на переменную $t$. Это дробное выражение и рациональная дробь.
• $\frac{x-2}{x+2}$ — содержит деление на переменную $x$. Это дробное выражение и рациональная дробь.
• $\frac{1}{6}m^3n^5$ — не содержит деления на переменную. Это целое выражение.
• $(y-4)^3 + \frac{1}{y}$ — содержит деление на переменную $y$. Это дробное выражение.
• $\frac{m^2 - 3mn}{18}$ — не содержит деления на переменную. Это целое выражение.

1) целыми выражениями

Это выражения, в которых нет деления на переменную.

Ответ: $\frac{5x^2}{4} + \frac{x}{7}$, $\frac{1}{6}m^3n^5$, $\frac{m^2 - 3mn}{18}$.

2) дробными выражениями

Это выражения, которые включают деление на переменную. Сюда входят все выражения, не являющиеся целыми.

Ответ: $\frac{3a^2}{4b^3}$, $\frac{8}{6n+1}$, $3a - \frac{b^2}{c^4}$, $\frac{t^2 - 6t + 15}{2t}$, $\frac{x-2}{x+2}$, $(y-4)^3 + \frac{1}{y}$.

3) рациональными дробями

Это выражения, которые представляют собой дробь, где числитель и знаменатель являются многочленами. Выражения $3a - \frac{b^2}{c^4}$ и $(y-4)^3 + \frac{1}{y}$ являются дробными, но в исходном виде не являются одной рациональной дробью, так как представляют собой сумму или разность целой и дробной части.

Ответ: $\frac{3a^2}{4b^3}$, $\frac{8}{6n+1}$, $\frac{t^2 - 6t + 15}{2t}$, $\frac{x-2}{x+2}$.

2. Чему равно значение дроби $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$, если:

1) c = -3;

2) c = 0?

1) c = -3;
Для того чтобы найти значение дроби, необходимо подставить значение $c = -3$ в выражение $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$.
Выполним подстановку и произведем вычисления:
Числитель: $c^2 - 4c = (-3)^2 - 4 \cdot (-3) = 9 - (-12) = 9 + 12 = 21$.
Знаменатель: $2c + 1 = 2 \cdot (-3) + 1 = -6 + 1 = -5$.
Значение дроби: $\frac{21}{-5} = -4,2$.
Ответ: $-4,2$

2) c = 0?
Аналогично, подставим значение $c = 0$ в выражение $\frac{c^2 - 4c}{2c + 1}$.
Выполним подстановку и произведем вычисления:
Числитель: $c^2 - 4c = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Знаменатель: $2c + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
Значение дроби: $\frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$

3. Найдите значение выражения $\frac{2m - n}{3m + 2n}$, если:

1) $m = -1, n = 1$;

2) $m = 4, n = -5$.

1) Чтобы найти значение выражения при $m = -1$ и $n = 1$, подставим эти значения в данное выражение:

$\frac{2m - n}{3m + 2n} = \frac{2 \cdot (-1) - 1}{3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1} = \frac{-2 - 1}{-3 + 2} = \frac{-3}{-1} = 3$

Ответ: 3

2) Чтобы найти значение выражения при $m = 4$ и $n = -5$, подставим эти значения в данное выражение:

$\frac{2m - n}{3m + 2n} = \frac{2 \cdot 4 - (-5)}{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-5)} = \frac{8 + 5}{12 - 10} = \frac{13}{2} = 6,5$

Ответ: 6,5

4. Чему равно значение выражения:

1) $\frac{a^2-1}{a-5}$ при $a=-4;$

2) $\frac{x+3}{y} - \frac{y}{x+2}$ при $x=-5, y=6?$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^2-1}{a-5}$ при $a=-4$, необходимо подставить значение $a$ в это выражение.

Подставляем $a = -4$:

$\frac{(-4)^2-1}{-4-5}$

Сначала выполним действия в числителе: $(-4)^2 = 16$, значит числитель равен $16 - 1 = 15$.

Затем выполним действия в знаменателе: $-4 - 5 = -9$.

Получаем дробь: $\frac{15}{-9}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{15 \div 3}{-9 \div 3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$.

Для удобства можно выделить целую часть: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}$

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{x+3}{y} - \frac{y}{x+2}$ при $x=-5$ и $y=6$, подставим эти значения в выражение.

Подставляем $x = -5$ и $y = 6$:

$\frac{-5+3}{6} - \frac{6}{-5+2}$

Сначала вычислим значение первой дроби: $\frac{-5+3}{6} = \frac{-2}{6}$. Сократив на 2, получим $-\frac{1}{3}$.

Затем вычислим значение второй дроби: $\frac{6}{-5+2} = \frac{6}{-3} = -2$.

Теперь выполним вычитание полученных значений:

$-\frac{1}{3} - (-2) = -\frac{1}{3} + 2$

Чтобы сложить дробь и целое число, представим целое число в виде дроби с таким же знаменателем:

$2 = \frac{2 \cdot 3}{3} = \frac{6}{3}$

Выполним сложение дробей:

$-\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{-1+6}{3} = \frac{5}{3}$.

Можно выделить целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$