Номер 3, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 3, страница 7.

Условие.

3. Какие значения переменных называют допустимыми?

Решение 2.

Решение 8.

Допустимыми значениями переменных (также их называют областью допустимых значений или ОДЗ) в математическом выражении, уравнении или неравенстве называют множество всех значений, которые могут принимать эти переменные, чтобы данное выражение имело смысл.

Простыми словами, это те числа, которые можно подставить вместо переменной, и при этом все математические действия в выражении будут выполнимы. Ограничения на значения переменных возникают из-за того, что некоторые математические операции определены не для всех чисел.

Рассмотрим основные случаи, когда возникают ограничения:

1. Деление на ноль. Если в выражении есть дробь, её знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Пример: В выражении $\frac{a+5}{a-2}$ знаменатель не может быть равен нулю.
$a-2 \neq 0$
$a \neq 2$
Таким образом, допустимыми значениями для переменной a являются любые числа, кроме 2.

2. Извлечение корня чётной степени. Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (например, квадратного $\sqrt{\phantom{x}}$), должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю).
Пример: В выражении $\sqrt{x-4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x-4 \ge 0$
$x \ge 4$
Допустимыми значениями для переменной x являются все числа, большие или равные 4.

Если в одном выражении встречается несколько ограничений, то область допустимых значений должна удовлетворять им всем одновременно.

Комбинированный пример: Найти ОДЗ для выражения $\frac{\sqrt{c}}{c-9}$.
Здесь два ограничения:

• Из-за корня в числителе: $c \ge 0$.
• Из-за знаменателя: $c-9 \neq 0$, то есть $c \neq 9$.

Совмещая оба условия, получаем, что допустимыми являются все неотрицательные числа, кроме 9. Это можно записать в виде интервала: $c \in [0; 9) \cup (9; +\infty)$.

Ответ: Допустимыми значениями переменных называют множество всех таких значений переменных, при подстановке которых в выражение оно не теряет своего математического смысла (например, не возникает деления на ноль или извлечения квадратного корня из отрицательного числа).