Номер 12, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 12, страница 8.

Условие.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение дроби:

1) $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$ неположительное;

2) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$ неотрицательное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассмотрим дробь $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$.

Сначала определим область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Выражение в знаменателе $x^2 + 5$.

Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен, то есть $x^2 \geq 0$, то знаменатель $x^2 + 5 \geq 0 + 5 = 5$.

Так как знаменатель всегда больше или равен 5, он никогда не равен нулю. Следовательно, дробь определена для всех действительных значений $x$.

Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя.

Числитель: $-x^2$. Так как $x^2 \geq 0$, то $-x^2 \leq 0$. Это означает, что числитель является неположительным числом (то есть отрицательным или равным нулю).

Знаменатель: $x^2 + 5$. Как мы уже выяснили, $x^2 + 5 \geq 5$, то есть знаменатель является строго положительным числом.

При делении неположительного числа на положительное число результат всегда будет неположительным (меньше или равен нулю).

Таким образом, при всех допустимых значениях $x$ значение дроби $\frac{-x^2}{x^2 + 5} \leq 0$, то есть является неположительным.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$.

Сначала определим область допустимых значений переменной $x$. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 2x + 1 \neq 0$.

Используя формулу квадрата разности, свернем знаменатель: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Условие $(x-1)^2 \neq 0$ выполняется, когда $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Итак, допустимыми являются все значения $x$, кроме $x=1$.

Теперь преобразуем числитель. Используя формулу квадрата суммы, свернем числитель: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Таким образом, исходную дробь можно переписать в виде: $\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}$.

Проанализируем знаки числителя и знаменателя для всех допустимых значений $x$.

Числитель: $(x+2)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x+2)^2 \geq 0$.

Знаменатель: $(x-1)^2$. Для всех допустимых значений $x$ (то есть при $x \neq 1$), выражение $x-1$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа является строго положительным, то есть $(x-1)^2 > 0$.

Дробь представляет собой частное неотрицательного числа (числителя) и строго положительного числа (знаменателя). Такое частное всегда будет неотрицательным.

Таким образом, при всех допустимых значениях $x$ (где $x \neq 1$) значение дроби $\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2} \geq 0$, то есть является неотрицательным.

Ответ: Утверждение доказано.