Номер 15, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 15, страница 9.

Условие.

15. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$;

2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{1}{4 - \frac{4}{x}}$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Кроме того, в знаменателе основной дроби есть еще одна дробь $\frac{4}{x}$, знаменатель которой также не может быть равен нулю.

Таким образом, мы имеем два условия:

1. Знаменатель внутренней дроби не равен нулю: $x \neq 0$.

2. Знаменатель основной дроби не равен нулю:

$4 - \frac{4}{x} \neq 0$

Решим это неравенство:

$4 \neq \frac{4}{x}$

Умножим обе части на $x$, так как мы уже установили, что $x \neq 0$:

$4x \neq 4$

$x \neq 1$

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ не может быть равен 0 и 1. Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме 0 и 1.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$

2) $y = \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$

Аналогично первому случаю, данная функция имеет два знаменателя, которые не могут быть равны нулю.

1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{1}{x}$ не равен нулю:

$x \neq 0$

2. Знаменатель основной дроби не равен нулю:

$x - \frac{1}{x} \neq 0$

Решим это неравенство:

$x \neq \frac{1}{x}$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 \neq 1$

Это означает, что $x$ не может быть равен 1 и -1, так как $1^2 = 1$ и $(-1)^2 = 1$.

$x \neq 1$ и $x \neq -1$

Объединяя все условия, получаем, что $x$ не может быть равен 0, 1 и -1. Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме -1, 0 и 1.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty)$