Номер 16, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 16, страница 9.

Условие.

16. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $ \frac{x}{x - \frac{9}{x}} $;

2) $ \frac{10}{2 + \frac{6}{x}} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Алгебраическое выражение имеет смысл, если все его знаменатели не равны нулю. В выражении $\frac{x}{x - \frac{9}{x}}$ есть два знаменателя, которые могут обратиться в ноль.

Во-первых, знаменатель внутренней дроби $\frac{9}{x}$ не должен быть равен нулю. Это накладывает первое ограничение:

$x \neq 0$

Во-вторых, знаменатель основной дроби $x - \frac{9}{x}$ также не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых он равен нулю, и исключим их.

$x - \frac{9}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (мы уже учли, что $x \neq 0$):

$x \cdot x - \frac{9}{x} \cdot x = 0 \cdot x$

$x^2 - 9 = 0$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x-3)(x+3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения, которые необходимо исключить:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Следовательно, чтобы выражение имело смысл, переменная $x$ не должна принимать значения 0, 3 и -3.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=0$, $x=3$ и $x=-3$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{10}{2 + \frac{6}{x}}$. Оно имеет смысл, когда все его знаменатели отличны от нуля.

Во-первых, знаменатель внутренней дроби $\frac{6}{x}$ не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

Во-вторых, знаменатель основной дроби $2 + \frac{6}{x}$ не должен быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором он обращается в ноль.

$2 + \frac{6}{x} = 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{6}{x} = -2$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$6 = -2x$

Разделим обе части на -2:

$x = \frac{6}{-2} = -3$

Таким образом, переменная $x$ не должна принимать значения 0 и -3.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=0$ и $x=-3$.