Номер 22, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 22, страница 9.

Условие.

22. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 - 8a + 16;$

2) $9x^2 + 6x + 1;$

3) $40xy + 16x^2 + 25y^2;$

4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) $a^2 - 8a + 16$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата разности.
Первый член выражения, $a^2$, является квадратом $a$.
Третий член, $16$, является квадратом $4$ ($4^2 = 16$).
Средний член, $-8a$, является удвоенным произведением первого и второго членов со знаком минус: $-2 \cdot a \cdot 4 = -8a$.
Таким образом, мы можем представить трехчлен в виде квадрата разности $a$ и $4$.
$a^2 - 8a + 16 = (a)^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + (4)^2 = (a - 4)^2$.
Ответ: $(a - 4)^2$

2) $9x^2 + 6x + 1$

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.
Первый член, $9x^2$, является квадратом $3x$ ($(3x)^2 = 9x^2$).
Третий член, $1$, является квадратом $1$ ($1^2 = 1$).
Средний член, $6x$, является удвоенным произведением первого и второго членов: $2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$.
Следовательно, выражение можно записать как квадрат суммы $3x$ и $1$.
$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + (1)^2 = (3x + 1)^2$.
Ответ: $(3x + 1)^2$

3) $40xy + 16x^2 + 25y^2$

Для удобства переставим члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы: $16x^2 + 40xy + 25y^2$.
Это выражение соответствует формуле квадрата суммы.
Первый член, $16x^2$, является квадратом $4x$ ($(4x)^2 = 16x^2$).
Третий член, $25y^2$, является квадратом $5y$ ($(5y)^2 = 25y^2$).
Средний член, $40xy$, является удвоенным произведением $4x$ и $5y$: $2 \cdot (4x) \cdot (5y) = 40xy$.
Значит, данный трехчлен является квадратом суммы $4x$ и $5y$.
$16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (5y) + (5y)^2 = (4x + 5y)^2$.
Ответ: $(4x + 5y)^2$

4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2$

Это выражение соответствует формуле квадрата разности.
Первый член, $a^8$, является квадратом $a^4$ ($(a^4)^2 = a^8$).
Третий член, $4b^2$, является квадратом $2b$ ($(2b)^2 = 4b^2$).
Средний член, $-4a^4b$, является удвоенным произведением $a^4$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot a^4 \cdot (2b) = -4a^4b$.
Таким образом, этот трехчлен можно представить как квадрат разности $a^4$ и $2b$.
$a^8 - 4a^4b + 4b^2 = (a^4)^2 - 2 \cdot a^4 \cdot (2b) + (2b)^2 = (a^4 - 2b)^2$.
Ответ: $(a^4 - 2b)^2$