Номер 3, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 3, страница 14.

Условие.

3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.

Решение 2.

Решение 8.

Основное свойство рациональной дроби аналогично основному свойству обыкновенной дроби и заключается в следующем: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Рациональная дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ являются многочленами, и $B$ — ненулевой многочлен.

Формально основное свойство можно записать в виде тождества. Для любой рациональной дроби $\frac{A}{B}$ и любого ненулевого многочлена $C$ (то есть $C \neq 0$) справедливо равенство:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

Это тождество верно для всех значений переменных, при которых знаменатели $B$ и $B \cdot C$ не равны нулю. Обратное действие — деление числителя и знаменателя на их общий множитель — называется сокращением дроби:

$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$

Это свойство имеет два ключевых применения:

1. Приведение дробей к новому (общему) знаменателю. Это действие необходимо для выполнения сложения и вычитания рациональных дробей.
Пример. Привести дробь $\frac{x+3}{x-1}$ к знаменателю $x^2-1$.
Сначала разложим новый знаменатель на множители: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Чтобы получить из старого знаменателя $(x-1)$ новый, необходимо домножить его на многочлен $(x+1)$. Этот многочлен называется дополнительным множителем. Умножим на него и числитель, и знаменатель исходной дроби:
$\frac{x+3}{x-1} = \frac{(x+3) \cdot (x+1)}{(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{x^2+4x+3}{x^2-1}$.

2. Сокращение рациональных дробей. Это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий множитель.
Пример. Сократить дробь $\frac{y^2-16}{3y+12}$.
Для нахождения общего множителя разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель (разность квадратов): $y^2-16 = (y-4)(y+4)$.
Знаменатель (вынесение общего множителя за скобки): $3y+12 = 3(y+4)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}$.
Общим множителем является $(y+4)$. Сократим на него дробь (при условии, что $y+4 \neq 0$):
$\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)} = \frac{y-4}{3}$.

Ответ: Основное свойство рациональной дроби заключается в том, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен. Для любой рациональной дроби $\frac{A}{B}$ и любого ненулевого многочлена $C$ справедливо тождество: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, при условии, что $B \neq 0$ и $C \neq 0$.