Номер 1, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 1, страница 14.

Условие.

1. Какие выражения называют тождественно равными?

Решение 2.

Решение 8.

1.

Тождественно равными называют два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Если выражения не содержат переменных (числовые выражения), они считаются тождественно равными, если их значения одинаковы.

Равенство, которое является верным при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием.

Чтобы понять это лучше, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Выражения $a(b+c)$ и $ab+ac$ являются тождественно равными. Это следует из распределительного закона умножения. Какими бы ни были числа $a$, $b$ и $c$, результат вычисления обоих выражений всегда будет одинаковым. Например, если $a=2$, $b=3$, $c=4$:
$a(b+c) = 2(3+4) = 2 \cdot 7 = 14$
$ab+ac = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14$
Равенство $a(b+c) = ab+ac$ — это тождество.

Пример 2: Выражения $(x-y)(x+y)$ и $x^2-y^2$ являются тождественно равными. Это одна из формул сокращенного умножения (разность квадратов). Для любых значений $x$ и $y$ значения выражений будут совпадать.

Пример 3 (с учетом области допустимых значений): Выражения $\frac{a^2-9}{a+3}$ и $a-3$ тождественно равны, но только на их общей области допустимых значений (ОДЗ). Для первого выражения ОДЗ — все числа, кроме $a=-3$ (так как знаменатель не может быть равен нулю). Для второго выражения ОДЗ — любое число. Таким образом, эти выражения тождественно равны для всех $a \neq -3$.

Пример выражений, которые НЕ являются тождественно равными: Выражения $x^2$ и $2x$. Хотя они равны при некоторых значениях (например, при $x=0$ и $x=2$), они не равны при всех остальных. Например, при $x=1$ получаем $1^2=1$, а $2 \cdot 1=2$. Так как равенство не выполняется для всех допустимых значений переменной, эти выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Тождественно равными называются выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.