Номер 28, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Упражнения - номер 28, страница 14.

Условие.

28. Является ли тождеством равенство:

1) $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$;

2) $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$;

3) $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$;

4) $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы проверить, является ли равенство $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$ тождеством, необходимо определить, выполняется ли оно для всех допустимых значений переменной $m$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для левой части $\frac{3m^2}{7m}$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $7m \neq 0$, откуда $m \neq 0$. Для правой части $\frac{3m}{7}$ знаменатель равен 7 и никогда не равен нулю, поэтому она определена для любого $m$. Общая ОДЗ для всего равенства — это пересечение ОДЗ его частей, то есть $m \neq 0$.

Теперь упростим левую часть равенства, сократив дробь на общий множитель $m$ (что возможно, так как $m \neq 0$):

$\frac{3m^2}{7m} = \frac{3 \cdot m \cdot m}{7 \cdot m} = \frac{3m}{7}$

После упрощения левая часть стала равна правой: $\frac{3m}{7} = \frac{3m}{7}$.

Так как равенство верно для всех допустимых значений переменной, оно является тождеством.

Ответ: да

2) Рассмотрим равенство $\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{x^2}{4}$.

ОДЗ для левой части: $16x^4 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Правая часть определена для всех $x$. Таким образом, общая ОДЗ: $x \neq 0$.

Упростим левую часть. Сократим числовые коэффициенты и степени переменной $x$:

$\frac{4x^8}{16x^4} = \frac{4}{16} \cdot \frac{x^8}{x^4} = \frac{1}{4} \cdot x^{8-4} = \frac{x^4}{4}$

Сравним полученное выражение с правой частью равенства:

$\frac{x^4}{4} = \frac{x^2}{4}$

Это равенство неверно для большинства допустимых значений $x$. Например, подставим $x=2$ (входит в ОДЗ):

Левая часть: $\frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Правая часть: $\frac{2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Поскольку $4 \neq 1$, равенство не является тождеством.

Ответ: нет

3) Проверим равенство $\frac{2b}{5c^3} = \frac{8b}{20c^5}$.

ОДЗ для обеих частей определяется условием $c \neq 0$.

Упростим правую часть, сократив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{8b}{20c^5} = \frac{4 \cdot 2b}{4 \cdot 5c^5} = \frac{2b}{5c^5}$

Теперь сравним левую часть с упрощенной правой:

$\frac{2b}{5c^3} = \frac{2b}{5c^5}$

Это равенство не является тождеством, так как знаменатели дробей различны ($c^3$ и $c^5$). Например, при $b=1, c=2$ (входит в ОДЗ):

Левая часть: $\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 2^3} = \frac{2}{5 \cdot 8} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$.

Правая часть: $\frac{8 \cdot 1}{20 \cdot 2^5} = \frac{8}{20 \cdot 32} = \frac{8}{640} = \frac{1}{80}$.

Поскольку $\frac{1}{20} \neq \frac{1}{80}$, равенство не является тождеством.

Ответ: нет

4) Рассмотрим равенство $\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^5}{9nm^3}$.

ОДЗ для левой части: $9n \neq 0 \implies n \neq 0$. ОДЗ для правой части: $9nm^3 \neq 0 \implies n \neq 0$ и $m \neq 0$. Общая ОДЗ: $n \neq 0$ и $m \neq 0$.

Упростим правую часть равенства, сократив дробь на $m^3$ (возможно, т.к. $m \neq 0$):

$\frac{8m^5}{9nm^3} = \frac{8 \cdot m^{5-3}}{9n} = \frac{8m^2}{9n}$

После упрощения правая часть стала равна левой:

$\frac{8m^2}{9n} = \frac{8m^2}{9n}$

Равенство верно для всех значений переменных из области допустимых значений, следовательно, оно является тождеством.

Ответ: да