Номер 25, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Рациональные дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 25, страница 10.

Условие.

25. Какое из равенств является тождеством:

1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$;

2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m^2 - 5mn + 25n^2)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, какое из равенств является тождеством, необходимо проверить, выполняется ли оно при всех допустимых значениях переменных. Для этого преобразуем одну из частей каждого равенства и сравним её с другой.

1) $3x^2 - 36xy + 108y^2 = 3(x - 6y)^2$

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=6y$.

$3(x - 6y)^2 = 3(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6y + (6y)^2) = 3(x^2 - 12xy + 36y^2)$

Теперь умножим каждый член в скобках на 3:

$3 \cdot x^2 - 3 \cdot 12xy + 3 \cdot 36y^2 = 3x^2 - 36xy + 108y^2$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством, так как оно верно при любых значениях переменных x и y.

Ответ: данное равенство является тождеством.

2) $4m^3 - 500n^6 = 4(m - 5n)(m^2 - 5mn + 25n^2)$

Преобразуем левую часть равенства, разложив её на множители. Сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4m^3 - 500n^6 = 4(m^3 - 125n^6)$

Выражение в скобках представляет собой разность кубов, так как $m^3$ — это куб от m, а $125n^6 = (5n^2)^3$ — это куб от $5n^2$. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$4(m^3 - (5n^2)^3) = 4(m - 5n^2)(m^2 + m \cdot 5n^2 + (5n^2)^2) = 4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4)$

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $4(m - 5n)(m^2 - 5mn + 25n^2)$.

Результат преобразования левой части, $4(m - 5n^2)(m^2 + 5mn^2 + 25n^4)$, не совпадает с правой частью. Выражения в скобках отличаются. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: данное равенство не является тождеством.